頂点が直線ｙ＝ｘ−５の上にあるということは，頂点のｘ座標が「ｐ」だとするとｙ座標は「ｐ−５」になる，ということです。 頂点の座標は（ｐ，ｐ−５）とおくことができるので，求める２次関数は　ｙ＝ａ（ｘ−ｐ）2＋ｐ−５　・・・�@　と表せます。 点（２，−３）を通るので，−３＝ａ（２−ｐ）2＋ｐ−５　　整理して，ａ（２−ｐ）2＝２−ｐ　・・・�A 点（３，０）を通るので，０＝ａ（３−ｐ）2＋ｐ−５　　整理して，ａ（３−ｐ）2＝５−ｐ　・・・�B �A�Bの連立方程式を解くのはなかなか難しいですね。 色々な方法がありますが，今回は�Aの式に注目してみます。 ｐ≠２のとき，２−ｐは０ではないから両辺を２−ｐで割って，ａ（２−ｐ）＝１

これより，　ａ＝ １ 　�Bに代入すると， （３−ｐ）2 ＝５−ｐ ２−ｐ ２−ｐ

分母をはらい，（３−ｐ）2＝（５−ｐ）（２−ｐ） 　　　　　　　　　９−６ｐ＋ｐ2＝１０−７ｐ＋ｐ2 　　　　　　　　　　ｐ＝１ 　これより，ａ＝１となる。この場合，求める２次関数はｙ＝（ｘ−１）2−４　です。（ｙ＝ｘ2−２ｘ−３） 次に，先ほど排除したｐ＝２の場合を考えましょう。 ｐ＝２のとき，�Bに代入してａ＝３となりますから，２次関数はｙ＝３（ｘ−２）2−３　と求まります。 これは問題の条件を満たしていますから，答えとして認めてよいです。だから，もう１つの答えは ｙ＝３（ｘ−２）2−３です。（ｙ＝３ｘ2−１２ｘ＋９） -------------------------------------------------------------------- 注：�Aよりａ（２−ｐ）2−（２−ｐ）＝０なので，左辺を因数分解すると　（２−ｐ）｛ａ（２−ｐ）−１｝＝０ 　　このことから自動的に２−ｐ＝０の場合と，ａ（２−ｐ）−１＝０の場合とに分かれる，と考えることもできます。 注：今回は�Aの両辺が２−ｐで割れたので，比較的簡単に解くことができましたが，一般には片方の式を「ａ＝・・・」の形に変形し，他方の式に代入して解かなければなりません。３次方程式になりますし，分母についての場合分けも必要ですから，かなり難易度は高くなります。