放物線と直線との共有点は,y=x2+4x+c と y=2x+1 を連立方程式として解けば求めることができます。

yを消去して,x2+4x+c=2x+1
         x2+2x+c−1=0

これが重解をもてば,共有点は1つしかない,つまり接することになります。

よって,D=22−4(c−1)=0
       4−4c+4=0  ∴c=2