微分法  積分法はこちら

 

何を学ぶのか
 曲線の上の離れた2点A,Bを結ぶ直線を引いたとします。この状態で点Bを点Aに近づけてみましょう。決してAをBに重ねてはいけませんが,限りなくギリギリまで近づいたとすると,直線ABは点Aで接するような直線になります。こうして作った直線を,曲線の,点Aにおける接線といいます。このような,曲線上の接線の傾きについて調べることが微分法の原点です。
 y=f(x)という曲線上の,x=aとなる点で引いた接線の傾きを,x=aにおける微分係数といい,f’(a)と書きます。例えばf(x)=x2という曲線の場合,f’(a)=2aとなることが計算できます。文字がaだと違和感があるので,通常はこれをxに置き換えて,f’(x)=2xと書き,これをf(x)の導関数といいます。曲線の方程式が変われば,導関数の方程式も変わります。そして,曲線の方程式が与えられたとき,その導関数を求めることを微分するというのです。微分して導関数を求めることによって,その曲線上で引いた接線の傾きを自由に求めることが出来るようになります。

 曲線上のある地点Aで引いた接線が右上がりだったとします。このとき,点Aの付近ではグラフも右上がりになっているはずです。接線の傾きが正であるということから,その周辺ではグラフが増加しているということが読めるのです。つまり,f’(x)>0となるようなxの範囲では,f(x)は増加する,ということがいえます。反対に,f’(x)<0のときはf(x)は減少します。このことは「導関数を調べれば,未知のグラフの概形が分かる」ということを意味しています。微分を応用すれば,いろいろなグラフをかくことができ,この章ではその例として,主に3次関数のグラフを扱います。
何が出来ればよいか
@ 定義に従った微分を理解する。
    f’(x)=limh→0(f(x+h)−f(x))/h
A 簡略公式を用いて微分ができる。
    (x2)’=2x, (x3)’=3x2 ・・・
B 導関数と接線の傾きとの関係を理解する。
    f’(2)・・・y=f(x)のグラフの,x=2のところで引いた接線の傾き
C グラフの増加,減少の様子を増減表に表し,グラフがかける。

※この分野が苦手な人は,まず以上の@〜Cが出来るようになってください。

勉強のポイント
 微分法という章に入って最初の2〜3時間は「微分法は何て難しいんだろう!」と感じるかもしれません。極限とか瞬間という概念など,微分法にはこれまでに学習した分野にはない,非常に斬新なアイデアがいっぱい含まれているからです。しかし,はじめの理論のところが終わり,微分の簡略公式を学習すると,これまでの面倒さがウソのように簡単になります。ですからはじめの数時間を乗り越えさえすれば,この章はパターンのはっきりした,非常に解きやすい問題ばかりになります。
 微分法の最大の応用は,未知のグラフをかくことにあります。特に3次関数は,この分野での中心的な題材です。増減表はしっかり書けるようになりましょう。この表をマスターすることなくして,微分法のマスターはありえません。
 3次関数のグラフを利用して,方程式の解の分析,不等式の証明なども行いますが,増減表とグラフがかければ,理解できるはずです。
 とにかく増減表とグラフ! と肝に銘じてがんばってください。

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「TEX」ファイルの利用にはパッケージが必要です。
予習シート