積分法  微分法はこちら

 

何を学ぶのか
 f(x)が与えられたとき導関数f’(x)を求めることを「微分する」といいました。これと反対で,導関数が与えられたとき元の関数を求めることを「積分する」といいます。f(x)を積分した関数を不定積分といい,記号でf(x)dxと書きます。例えば2xという関数を積分するとx2となりますが,微分して2xになればよいわけですから「x2+1」,「x2-3」のように,定数がついていても構わないはずです。つまり,「2xの不定積分はx2+Cである」という表現が正しいでしょう。積分するときにはこの定数Cがかならず発生し,この定数のことを積分定数といいます。
 今述べたように,1つの関数f(x)の不定積分は無数に存在します。(だから”不定”というのですが・・・) しかしこれらの不定積分「達」には共通の性質も多くあります。その例として「xがある量だけ変化したときのyの変化量が等しい」というのがあります。再び先ほどの関数を例にとると,2xの不定積分は無数にあり,例えば「x2」,「x2+1」,「x2-3」が例として挙げられます。いま,xの値が0から5まで変化したとすると,これらの関数はどれだけの量変化するか調べてみましょう。
     「x2」  xが0から5まで変化 → x2は0から25まで変化 → 変化量25
     「x2+1」  xが0から5まで変化 → x2+1は1から26まで変化 → 変化量25
     「x2-3」  xが0から5まで変化 → x2は-3から22まで変化 → 変化量25
変化量が全て同じであることが分かりますね。xがaからbまで変化したとき,f(x)の不定積分はみな同じ量だけ変化をします。この変化量のことを「xがaからbまで変化するときのf(x)の定積分」といい,記号で
b f(x)dx                             
a
と書きます。上の例では 5 2xdx=25 と表せることになります。
0
実はこの定積分は,y=2xという直線とx軸,さらにx=0,x=5で囲まれた部分の面積を表しています。定積分は面積という図形的な意味をもっており,さまざまな領域の面積を求める際に大活躍します。
何が出来ればよいか
@ 関数f(x)の不定積分を求められる。
    
xndx=1/(n+1)xn+1+C(Cは積分定数)
A 定積分の計算ができる。
B 曲線や直線によって囲まれた図形の面積を,定積分を用いて計算できる。


※この分野が苦手な人は,まず以上の@〜Dが出来るようになってください。


勉強のポイント
 積分することは微分することの逆操作です。微分がわかっていなければ積分はできません。また,微分がよく分かっている人でも,やっていくうちにどっちがどっちだったか混乱してしまい,計算間違いすることもありますので注意が必要です。
 この分野の目的の8割以上は,面積を計算することにありますので,いろいろな領域の面積が出せるようになって初めてこの分野をクリアしたことになります。領域の面積を求める際,定積分の式を立てますが,その立式に必要な情報が2つあります。領域の横幅(xの範囲)と,上下の曲線の式です。
 ある領域が-3≦x≦2の横幅をもち,上側の曲線がy=f(x),下側の曲線がy=g(x)だったとすると,この領域の面積は

      2 {f(x)−g(x)}dx
-3
を計算すれば求まります。もし上側や下側がx軸だった場合は,上の式のf(x)やg(x)の部分を「0」に変えればよいので,この原理だけ知っていれば教科書にいろいろ載っている公式をまとめて覚えることができます。
 面積を求める問題では,次の手順に沿って解答を書いていきます。
   @ 連立方程式を解いてグラフとグラフの共有点(あれば)を求める。
   A グラフをかく。(共有点やグラフの位置関係が分かる程度でよい)
   B 領域の横幅と上下の曲線を確認する。
   C 定積分の式を立てる。
   D Cを計算する。
 意外と間違いが多いのは上のDです。定積分の計算はどうしても面倒になるので,計算間違いが非常に多くなります。慎重な計算に心がけたいものです。
 また,計算の面倒さを解消するため,いろいろな「簡略公式」も開発されています。「6分の1公式」などが有名です。興味がある場合はこちらをご覧ください。→ Ver.1  Ver.2
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