微分と積分

1.何を学ぶのか

 

【微分について】

 

 曲線の上の離れた2点A,Bを結ぶ直線を引いたとします。この状態で点Bを点Aに近づけてみましょう。決してAをBに重ねてはいけませんが,限りなくギリギリまで近づいたとすると,直線ABは点Aで接するような直線になります。

 

こうして作った直線を,曲線の,点Aにおける接線といいます。このような,曲線上の接線の傾きについて調べることが微分法の原点です。


 y=f(x)という曲線上の,x=aとなる点で引いた接線の傾きを,x=aにおける微分係数といい,f’(a)と書きます。

 

例えばf(x)=x2という曲線の場合,f’(a)=2aとなることが計算できます。

 

文字がaだと違和感があるので,通常はこれをxに置き換えて,f’(x)=2xと書き,これをf(x)の導関数といいます。

 

曲線の方程式が変われば,導関数の方程式も変わります。そして,曲線の方程式が与えられたとき,その導関数を求めることを微分するというのです。

 

微分して導関数を求めることによって,その曲線上で引いた接線の傾きを自由に求めることが出来るようになります。

 

 曲線上のある地点Aで引いた接線が右上がりだったとします。このとき,点Aの付近ではグラフも右上がりになっているはずです。

 

接線の傾きが正であるということから,その周辺ではグラフが増加しているということが読めるのです。

 

つまり,f’(x)>0となるようなxの範囲では,f(x)は増加する,ということがいえます。

 

反対に,f’(x)<0のときはf(x)は減少します。

 

このことは「導関数を調べれば,未知のグラフの概形が分かる」ということを意味しています。微分を応用すれば,いろいろなグラフをかくことができ,この章ではその例として,主に3次関数のグラフを扱います。

 

 

【積分について】

 

 f(x)が与えられたとき導関数f’(x)を求めることを「微分する」といいました。これと反対で,導関数が与えられたとき元の関数を求めることを「積分する」といいます。

 

f(x)を積分した関数を不定積分といい,記号で∫f(x)dxと書きます。

 

例えば2xという関数を積分するとx2となりますが,微分して2xになればよいわけですから「x2+1」,「x2-3」のように,定数がついていても構わないはずです。

 

つまり,「2xの不定積分はx2+Cである」という表現が正しいでしょう。積分するときにはこの定数Cがかならず発生し,この定数のことを積分定数といいます。

 

 

 今述べたように,1つの関数f(x)の不定積分は無数に存在します。(だから”不定”というのですが・・・) しかしこれらの不定積分「達」には共通の性質も多くあります。

 

その例として「xがある量だけ変化したときのyの変化量が等しい」というのがあります。

 

再び先ほどの関数を例にとると,2xの不定積分は無数にあり,例えば

 

「x2」,「x2+1」,「x2-3」

 

が例として挙げられます。

 

いま,xの値が0から5まで変化したとすると,これらの関数はどれだけの量変化するか調べてみましょう。


     「x2」  xが0から5まで変化 → x2は0から25まで変化 → 変化量25

     「x2+1」  xが0から5まで変化 → x2+1は1から26まで変化 → 変化量25

     「x2-3」  xが0から5まで変化 → x2は-3から22まで変化 → 変化量25

 

変化量が全て同じであることが分かりますね。xがaからbまで変化したとき,f(x)の不定積分はみな同じ量だけ変化をします。この変化量のことを「xがaからbまで変化するときのf(x)の定積分」といいます。

 

実はこの定積分は,y=2xという直線とx軸,さらにx=0,x=5で囲まれた部分の面積を表しています。定積分は面積という図形的な意味をもっており,さまざまな領域の面積を求める際に大活躍します。

 

 

 

 

2.何ができればよいか

 

【微分について】

 

① 定義に従った微分を理解する。

    f’(x)=limh→0(f(x+h)-f(x))/h

② 簡略公式を用いて微分ができる。

    (x2)’=2x, (x3)’=3x2 ・・・

③ 導関数と接線の傾きとの関係を理解する。

    f’(2)・・・y=f(x)のグラフの,x=2のところで引いた接線の傾き

 グラフの増加,減少の様子を増減表に表し,グラフがかける。

 

※この分野が苦手な人は,まず以上の①~④が出来るようになってください。

 

   → 公式を覚えたい人はこちら

 

 

 

【積分について】

 

① 関数f(x)の不定積分を求められる。

    ∫xndx=1/(n+1)xn+1+C(Cは積分定数)

② 定積分の計算ができる。

③ 曲線や直線によって囲まれた図形の面積を,定積分を用いて計算できる。

 

※この分野が苦手な人は,まず以上の①~⑤が出来るようになってください。

 

   → 公式を覚えたい人はこちら

 

 

 

 

3.勉強のポイント

 

【微分について】

 

 微分法という章に入って最初の2~3時間は「微分法は何て難しいんだろう!」と感じるかもしれません。極限とか瞬間という概念など,微分法にはこれまでに学習した分野にはない,非常に斬新なアイデアがいっぱい含まれているからです。

 

しかし,はじめの理論のところが終わり,微分の簡略公式を学習すると,これまでの面倒さがウソのように簡単になります。ですからはじめの数時間を乗り越えさえすれば,この章はパターンのはっきりした,非常に解きやすい問題ばかりになります。

 

 微分法の最大の応用は,未知のグラフをかくことにあります。特に3次関数は,この分野での中心的な題材です。増減表はしっかり書けるようになりましょう。この表をマスターすることなくして,微分法のマスターはありえません。

 

 3次関数のグラフを利用して,方程式の解の分析,不等式の証明なども行いますが,増減表とグラフがかければ,理解できるはずです。

 

 とにかく増減表とグラフ! と肝に銘じてがんばってください。

 

 

 

【積分について】

 

 積分することは微分することの逆操作です。微分がわかっていなければ積分はできません。また,微分がよく分かっている人でも,やっていくうちにどっちがどっちだったか混乱してしまい,計算間違いすることもありますので注意が必要です。

 

 この分野の目的の8割以上は,面積を計算することにありますので,いろいろな領域の面積が出せるようになって初めてこの分野をクリアしたことになります。領域の面積を求める際,定積分の式を立てますが,その立式に必要な情報が2つあります。領域の横幅(xの範囲)と,上下の曲線の式です。

 

 ある領域が-3≦x≦2の横幅をもち,上側の曲線がy=f(x),下側の曲線がy=g(x)だったとすると,この領域の面積は

 

 

を計算すれば求まります。もし上側や下側がx軸だった場合は,上の式のf(x)やg(x)の部分を「0」に変えればよいので,この原理だけ知っていれば教科書にいろいろ載っている公式をまとめて覚えることができます。

 

 面積を求める問題では,次の手順に沿って解答を書いていきます。

   ① 連立方程式を解いてグラフとグラフの共有点(あれば)を求める。

   ② グラフをかく。(共有点やグラフの位置関係が分かる程度でよい)

   ③ 領域の横幅と上下の曲線を確認する。

   ④ 定積分の式を立てる。

   ⑤ ④を計算する。

 

 意外と間違いが多いのは上の⑤です。定積分の計算はどうしても面倒になるので,計算間違いが非常に多くなります。慎重な計算に心がけたいものです。

 

 また,計算の面倒さを解消するため,いろいろな「簡略公式」も開発されています。「6分の1公式」などが有名です。興味がある場合はこちらをご覧ください。