微分法とその応用

 

何を学ぶのか
 「ある点で微分できる」とは「その点で接線が1本引ける」ということです。その点でグラフが千切れていたり,穴が開いていたりしたら接線は引けませんし,その点でグラフがとがっていたら,きちんと1本接線を引くことができません。いわば「微分可能」とは「曲線が滑らか」であること。まず初めにそのための条件を学習します。
 微分法の基礎は,既に数学Uで学習しています。微分したり,増減表を利用してグラフをかいたりといったことは,数学Vになっても何も変わりません。ただ,相手にする関数が圧倒的に多くなる,ということです。
具体的には分数,√,三角関数,指数・対数関数といった,これまで考えてこなかった関数を微分することになります。
いろいろな関数が登場します。ルートの中に三角関数が入っていたり,対数関数と三角関数が掛けてあったりと,聞いたこともないような関数がたくさん出てきます。それらを微分し,どのようなグラフになるのかを考えることが,この分野の大きな目標です。
グラフをかくとき,これまでと違ったことを2つやります。これまではf'(x)の符号を調べて,増減のみを表にしていましたが,数学Vで出てくるグラフはそれだけの情報ではかけないものがほとんど。より正確な調査のためにf''(x)の符号を調べ,グラフの「凹凸」を調査します。また,グラフが漸近線をもっている場合があり,それを調べるために関数の極限を求めたりします。
何が出来ればよいか
@ 公式をしっかり覚え,基本関数の微分ができるようになる。
    ・・・・・・積の微分,商の微分,√,sin,cos,tan,log,ax
A 合成関数の微分を理解する。→合成関数を分解する練習
    (例) y=(2x-1)5・・・・・・「X5」と「2x-1」の合成関数
        y=log(3x)・・・・・・「logX」と「3x」の合成関数
B 増減,凹凸表をしっかりかく練習をする。
C グラフをかく手順を理解する。
      →まず微分
      →f'(x)=0,f''(x)=0となるxの値を求める。
      →増減凹凸の表をかく。
      →limをしらべる。

※この分野が苦手な人は,まず以上の@〜Cが出来るようになってください。
勉強のポイント
 とにかく微分ができなければ話になりません。いろいろな式が出てきますが,一番難しいのは合成関数の微分です。式を見たときに,それが「積」なのか,「商」なのか,「合成関数」なのかを判断し,合成関数ならば「何と何の」合成なのかを見破ることができなければなりません。
 微分ができるようになったら,後はグラフをかくのみです。いろいろな関数のグラフをかくことがこの章の目標です。問題によっては,グラフをかくだけで30分以上かかるような場合もあり,一筋縄ではいきませんが,グラフがかけなければこの章を勉強した意味がありません。しっかり取り組んでください。