指数関数   対数関数はこちら

 

何を学ぶのか
 3+3+3+3を略して「3×4」と書くように,3×3×3×3も略して「34」と書きます。このとき,右肩の小さな数「4」のことを累乗の指数と呼ぶことは中学校で学習したと思います。高校ではaxと書いたとき,aを(てい),xをその指数
と呼ぶことになります。この指数xは,あくまでも掛け算を繰り返した回数のことですから,1,2,3,・・・という自然数でなければなりませんでした。

 この分野ではこの,「指数は自然数でなければならない」という常識を覆し,30,3-2,31/2,31.24というように,指数を実数にまで拡張することを考えます。こうなると,「指数は掛けた回数である」という言い方では説明がつかなくなってきます。そこで注目するのが,本来指数がもっていた,ある重要な性質です。

 指数については,指数法則と呼ばれる性質が成り立ちます。この法則が成り立つことを前提にし,「0乗」や「-2乗」や「1/2乗」といった指数が何を意味するのかを定義していきます。

「y=ax」という形の関数は,指数関数と呼ばれます。いろいろな事情からaは1を除く正の数でなければなりませんが,指数関数はこの底aが1より大きいときと小さいときで,まったく性質が異なっています。

もしaが1より大きいならば,xが大きくなればなるほどaxの値は大きくなりますが,aが1より小さいならば,xが大きくなればなるほどaxの値は小さくなります。このことは,この分野のさまざまな問題の随所で大きな意味を持ってきます。


何が出来ればよいか
@ 指数法則
    am×an=am+n, am÷an=am-n, (am)n=amn, (ab)n=anbn
  を用いて計算が出来る。
A 30,3-2,32/3のような値が何を意味しているのか(その値を)答えられる。
B 2√2,1/8,3√4といった数値が,2の何乗になるか答えられる。
C y=axのグラフを,aが1より大きいときと小さいときの区別をしてかくことが出来る。
D 指数方程式4x=8が解ける。
E 3つの数2-14√8,1/4 を,小さい順に並べられる。
F 指数不等式(1/2)x<(1/8)が解ける。

※この分野が苦手な人は,まず以上の@〜Fが出来るようになってください。


勉強のポイント
 指数の計算は,ルートが残った状態で行うより,指数の表現に直し,上の指数法則@をつかって行ったほうが圧倒的に楽です。ですから指数法則4つはしっかり頭に入れ,自由に使えるようになっておきましょう。そのためには,どんな数でも「ax」という形に直すことが出来なければいけません。つまり,Bのような操作を一生懸命練習する必要があります。

 指数計算には,次のような手順があります。

          1. √の式はaxの形に直す。
          2. 底aを全てそろえる。
          3. 指数法則を用いる。

 また,計算のコツとして,「底はなるべく小さく分解する」ということを覚えておいてください。例えば4x=8を解くときは,左辺の底は4,右辺の底は8ですが,4は「22」,8は「23」というように,もっと小さな底「2」に分解することが出来ます。こうすることで方程式は(22)x=23,つまり22x=23と変形されます。ここまでくれば「2x=3」ということから,xが簡単に求められます。

不等式のときは,1点だけ注意が必要です。上の手順に従って,最後の式が22x<23になったとしたら,指数だけを抜き出して「2x<3」としてよいのですが,もし最後の式が(1/2)2x=(1/2)3となったとしたら,「2x
3」のように,負等号の向きを変えなければなりません。底が1より小さいときは,このような,大小関係の逆転現象が起こるのです。これが指数関数の分野でもっとも注意を要する性質です。
関連する予習シート
0や負の整数の指数
累乗根
分数の指数
指数関数
別紙
y=axのグラフ
「TEX」ファイルの利用にはパッケージが必要です。
予習シート