| 関連する予習シート | ||
| 0や負の整数の指数 |  |
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| 累乗根 | |
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| 分数の指数 | |
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| 指数関数 | |
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| 別紙 | ||
| y=axのグラフ | |
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| 指数関数 対数関数はこちら | |
| ◆ | 何を学ぶのか |
| 3+3+3+3を略して「3×4」と書くように，3×3×3×3も略して「34」と書きます。このとき，右肩の小さな数「4」のことを累乗の指数と呼ぶことは中学校で学習したと思います。高校ではaxと書いたとき，aを底（てい），xをその指数 と呼ぶことになります。この指数xは，あくまでも掛け算を繰り返した回数のことですから，1，2，3，･･･という自然数でなければなりませんでした。 この分野ではこの，「指数は自然数でなければならない」という常識を覆し，30，3-2，31/2，31.24というように，指数を実数にまで拡張することを考えます。こうなると，「指数は掛けた回数である」という言い方では説明がつかなくなってきます。そこで注目するのが，本来指数がもっていた，ある重要な性質です。 指数については，指数法則と呼ばれる性質が成り立ちます。この法則が成り立つことを前提にし，「0乗」や「-2乗」や「1/2乗」といった指数が何を意味するのかを定義していきます。 「y=ax」という形の関数は，指数関数と呼ばれます。いろいろな事情からaは1を除く正の数でなければなりませんが，指数関数はこの底aが1より大きいときと小さいときで，まったく性質が異なっています。 もしaが1より大きいならば，xが大きくなればなるほどaxの値は大きくなりますが，aが1より小さいならば，xが大きくなればなるほどaxの値は小さくなります。このことは，この分野のさまざまな問題の随所で大きな意味を持ってきます。 |
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| ◆ | 何が出来ればよいか |
| ① 指数法則 am×an=am+n， am÷an=am-n， (am)n=amn， (ab)n=anbn を用いて計算が出来る。 ② 30，3-2，32/3のような値が何を意味しているのか(その値を)答えられる。 ③ 2√2，1/8，3√4といった数値が，2の何乗になるか答えられる。 ④ y=axのグラフを，aが1より大きいときと小さいときの区別をしてかくことが出来る。 ⑤ 指数方程式4x＝8が解ける。 ⑥ 3つの数2-1，4√8，1/4 を，小さい順に並べられる。 ⑦ 指数不等式(1/2)x＜(1/8)が解ける。 ※この分野が苦手な人は，まず以上の①～⑦が出来るようになってください。 |
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| ◆ | 勉強のポイント |
| 指数の計算は，ルートが残った状態で行うより，指数の表現に直し，上の指数法則①をつかって行ったほうが圧倒的に楽です。ですから指数法則4つはしっかり頭に入れ，自由に使えるようになっておきましょう。そのためには，どんな数でも「ax」という形に直すことが出来なければいけません。つまり，③のような操作を一生懸命練習する必要があります。 指数計算には，次のような手順があります。 １． √の式はaxの形に直す。 ２． 底aを全てそろえる。 ３． 指数法則を用いる。 また，計算のコツとして，「底はなるべく小さく分解する」ということを覚えておいてください。例えば4x=8を解くときは，左辺の底は4，右辺の底は8ですが，4は「22」，8は「23」というように，もっと小さな底「2」に分解することが出来ます。こうすることで方程式は(22)x＝23，つまり22x＝23と変形されます。ここまでくれば「2x＝3」ということから，xが簡単に求められます。 不等式のときは，1点だけ注意が必要です。上の手順に従って，最後の式が22x＜23になったとしたら，指数だけを抜き出して「2x＜3」としてよいのですが，もし最後の式が(1/2)2x＝(1/2)3となったとしたら，「2x＞3」のように，負等号の向きを変えなければなりません。底が1より小さいときは，このような，大小関係の逆転現象が起こるのです。これが指数関数の分野でもっとも注意を要する性質です。 |
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