積分法とその応用

 

何を学ぶのか
 積分法の基礎は,数学Uで全て学習しました。ですから,定義や性質について新しく学習することは何もありません。ただ,積分する対象の式が多くなったというだけです。
 微分と違って,積分はどんな関数での積分できる,というわけではありません。基本的な関数の積分公式は覚えなければなりませんが,ちょっとした合成関数でも積分ができない場合があります。これは高校数学ではどうしようもありません。
 ただ,いろいろな工夫によって,計算ができる場合もあります。置換積分法,部分積分法といった特殊なテクニックを学習し,これによって積分法の幅が広がっていきます。ただし,式を見て,この積分はどんな方法で行えばいいのかを判断するのは難しいことです。積分が難しいのは,微分のように「この方法でやれば絶対解ける」という公式がないところ。問題によってやり方がいつも違うのです。
 積分の応用といえば何と言っても面積ですが,体積や曲線の長さ,表面積を求めるのにも積分が利用されます。高校ではこのうち,立体の体積を求める方法を学習します。
何が出来ればよいか
@ 基本関数の積分公式を覚える。
A log,tanの積分の方法を理解する。
B 部分積分,置換積分の方法を理解する。
C 面積,体積を求めることができる。
D 区分求積法を理解する。


※この分野が苦手な人は,まず以上の@〜Dが出来るようになってください。
勉強のポイント
 積分は試行錯誤の連続です。公式だけでは解けないものが多く,文字の置き換え,式の変形などをいろいろやってみる必要があり,1つ1つに時間がかかるものばかりです。
 この分野は,微分法がよく分かっている人でなければ大変苦労をします。まずはしっかり微分法の公式その他を理解しておきましょう。面積や体積の公式自体はそう難しいものではありません。ただ,積分の計算が難しいだけです。
 区分求積法は,数列の和の証明でよく用いられます。