確率分布

1.何を学ぶのか

 

数学Aで学習した確率で,例えば「袋の中から赤玉を2個取り出す確率」のような問題があったと思います。この個数の部分をXに変えて,「袋の中から赤玉をX個取り出す確率」とすると当然,

 

X=1のとき,X=2のとき,X=3のとき…

 

のように,Xの値によって確率は変わります。

 

このときのXのことを「確率変数」といい,Xの値と確率を一覧表にしたものを「確率分布」といいます。

 

さいころの出る目X,試験の点数X,もらえる金額Xなど,確率変数に対して,Xが変化したら確率はどう変化するかを表にしたものが確率分布です。

確率分布から得られる,2つの大事な数値があります。平均と分散です。平均は「期待値」とも呼ばれ,文字通りXが平均していくらになるのかを表しています。分散は,「各Xが,平均からどれくらい離れているかの平均」なのですが,データ全体の散らばり具合を表す数値です。平均が同じでも分散が違う場合があり,より深いデータ分析が可能になります。

統計学的に有名な確率分布に「二項分布」と「正規分布」があります。二項分布においては数学Aで学習した「反復試行」の考え方が重要です。

 

二項分布において,試行回数が十分に大きくなると「正規分布」という,なめらかで左右対称な分布に近づいていきます。正規分布は試行回数やサンプル数が大きい確率やデータで多く見られる基本的な分布であり,これを基にした推定や検定を行っていくことができます。

 

 

2.何ができればよいか

 

① 確率分布表を作成することができる。
② 確率分布から平均(期待値)と分散を求めることができる。

③ 二項分布の一般項を読み取り,平均と分散の計算ができる。

④ 正規分布の平均と分散の計算ができる。

⑤ 二項分布や正規分布の「正規化」ができ,正規分布表を使いこなせる。


※この分野が苦手な人は,まず以上の①~②が出来るようになってください。

 

 → 公式を覚えたい人はこちら

 

 

3.勉強のポイント

 

確率分布では,平均,分散を求めることが大きな目的ですが,それ以前に問題を読んで確率分布を作ることが求められます。これまで学習した確率の知識全てが必要です。

 

二項分布以降の内容はかなり難易度が高く,特に正規分布における変数の正規化,それを利用した信頼区間,推定等の部分は覚える公式も多く,複雑です。

 

この分野は数学Bの教科書では省略することも多く,そもそも授業で取り扱わない学校も多いため,学ぶ機会が少ない内容なのですが,こうした統計学的内容は意外と大学や実社会で活用されており,その時になって苦労することがあります。

 

高校数学で学ぶ最低限の内容は,知っておいて損はないと思います。