図形と計量(三角比)

 

何を学ぶのか
 右の図のような直角三角形を考えます。∠A(以下,単にAと書きます)が左下に来ているとき,次の3つの比の値
              a/b  a/c  b/c
を,それぞれAの正接正弦余弦といい,記号でtanAsinAcosAと書きます。これら3つをまとめて,Aの三角比といいます。これらの比の値は,直角三角形の大きさに関係なく,純粋にAの値によってのみ決まります。

 どんな角についても,三角比は考えられますが,特に中学校で学習した2つの直角三角形が重要です。それは,三角定規にも採用されている「30°,60°,90°」,「45°,45°,90°」の直角三角形です。これらについては,辺の比が分かっていますから,簡単に三角比の値を計算することができるのです。

 三角比,およびこの後学習する三角関数という分野は非常に公式の多い分野ですが,中でも重要な公式が「三角比の相互関係」と呼ばれる公式です。この分野では常識として知っておく必要がある公式です。

 上の定義によれば,∠Aは鋭角でなければなりません。直角三角形に基づいた定義をしている限り,三角比は90°未満の角についてしか考えることができません。そこで,定義の方法を少し改良し,180°までの角について三角比が考えられるようにします。そこで登場するのが単位円と呼ばれる考え方です。単位円を用いた三角比の定義は,この後学習する三角関数の分野でも必要となる重要なものです。三角方程式,三角不等式を解く際にも役立ちます。

 つぎに,正弦定理余弦定理を学習します。これらは,直角三角形に限らず,あらゆる三角形について,一部の辺や角度を元に,残りの辺の長さや角度を求めることのできる,大変有用なものです。これらを活用し,平面図形や空間図形について,辺の長さ,角度,面積,体積などのさまざまな計算や計量を行います。
何が出来ればよいか
@ 30°,45°,60°の三角比がすぐ言えるようにする。
A 三角比の相互関係の公式を覚える。・・・sin2A+cos2A=1, tanA=(sinA)/(cosA)
B 単位円を用いた三角比の定義を理解する。
C 正弦定理,余弦定理を覚え,使えるようにする。
D 三角形の面積公式を覚え,使えるようにする。

※この分野が苦手な人は,まず以上の@〜Dが出来るようになってください。



勉強のポイント
 まずはsin,cos,tanの3つの記号の使い方に慣れなければいけません。初めて習う記号や考え方ですから,始めのうちはピンと来ないかもしれません。繰り返し演習し,慣れておきましょう。

三角比は始め,直角三角形で定義されますが,回が進むにつれ,単位円を用いた定義に変わっていきます。分かりやすいのは始めの定義ですが,応用が広いのは後の定義です。初めの定義で三角比にある程度慣れたら,後の定義を自由に使いこなせるよう,十分理解しておいてください。これから先の三角方程式,三角不等式その他の問題のほとんどは,この単位円が理解できなければ解くことができません。

この分野の後半は,とにかく正弦定理,余弦定理の2つに尽きます。覚えることは当然ですが,どのような場面で,どのように使えばいいのかまでしっかり理解するようにしましょう。おおまかには,三角形の

      ・向かい合う辺と角が分かっているか,または外接円について問われている → 正弦定理
      ・2辺と挟む角,または3辺が分かっているとき → 余弦定理

と考えておけばいいと思います。さまざまな図形問題の計算をすることになりますが,図形の中には必ず三角形が隠れていますので,その三角形に対して正弦,余弦定理を使うことでどんな図形問題にも対応できます。

面積公式,cos(180°-θ)=−cosθの公式も覚えておきましょう。よく使いますので。