§1 不定積分
(数学V 積分法)


不定積分
ある関数 F(x) を微分したら, f(x) になったとします。このとき,f(x) のことを,F(x)の「導関数」というんでした。

逆に,F(x)のことを,f(x)の
原始関数といいます。つまり原始関数とは微分する前の,元の関数のことです。
〔例1〕 x2-3x+5 を微分すると 2x-3になる
      → 「2x-3」は「x2-3x+5」の導関数である。
      → 「x2-3x+5」は「2x-3」の原始関数である。

〔例2〕 log x を微分すると 1/x になる
      → 「1/x」は「log x」の導関数である。
      → 「log x」は「1/x」の原始関数である。

同じことを言っているのだが,どちらを主語にするかで言い方が変わってくる。
関数 f(x)=2x について考えてみましょう。この原始関数は何か?(つまり,微分すると2xになるような,元の関数は何か?)と聞かれたら,多くの人が

       「x2

と答えるでしょうね。もちろんその通りなのですが,実はこれだけでは不十分なのです。

というのも,「2x」の原始関数は,「x2」の他にもあるからです。

例えば,「x2+5」はどうですか? 微分すると「5」は消えてしまいますから,これは確かに2xの原始関数です。同様に,「x2-3」や「x2+100」,「x2+1/3」などでも構いませんよね。

微分したらどうせ定数は消えてしまうのですから,「x2」の後にはどんな定数がついていてもいいことになります。つまり,「2x」の原始関数は,定数を変えることによっていくらでも考えられることになります。

そこで通常は,「2xの原始関数は?」と聞かれた場合,「x2
+C」のように,「はっきり言えないが,定数Cが付きます」という答え方をすることにします。この定数Cのことを積分定数といいます。
〔例〕 cos xの原始関数は,「sin x +C (Cは積分定数)」

微分したらcos xになるような元の関数は何か? と聞いているわけだが,「sin x」,「sinx +4」,「sin x -7」など,たくさん存在するので,上のように「本体+定数」という答え方をする。「Cは積分定数」というセリフも書こう。
関数f(x)の原始関数は「F(x)+C」という式で書けることは分かりましたね。

さて,原始関数のことを別名,「
不定積分」ともいいます。定数Cが付いてしまい,はっきり定まらないからです。
f(x)の不定積分を求めることを,「f(x)を
積分する」といいます。

導関数を求めることを「微分する」といいましたよね。あれとちょうど逆の言い方になります。ですから,積分することは,微分することの逆計算になるわけです。

例えば関数f(x)=2xを積分すると「x2+C」になりますし,f(x)=cos xを積分すると「sin x +C」になります。

さらに,次のような記号を使って表現します。

       「f(x)を積分したら,F(x)+Cになる」 ――→ 「
f(x)dx = F(x)+C」

「∫」は「インテグラル」と読みます。積分するという英単語の頭文字,「S」をもじったものです。「∫」と「dx」は必ずセットで使い,この間に積分したい関数f(x)をはさみます。
〔例1〕 2x dx = x2+C
  ・・・2xを積分したら,x2+Cになる,と言っている。

〔例2〕 cos x dx = sin x +C
  ・・・cos xを積分したら,sin x +Cになる,と言っている。
では,これから色々な関数を積分することにしましょう。

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