§１　不定積分
(数学Ⅲ　積分法)


１ 不定積分
ある関数 F(x) を微分したら， f(x) になったとします。このとき，f(x) のことを，F(x)の「導関数」というんでした。

逆に，F(x)のことを，f(x)の原始関数といいます。つまり原始関数とは微分する前の，元の関数のことです。
〔例１〕　x2-3x+5　を微分すると　2x-3になる
　　　　　　→　「2x-3」は「x2-3x+5」の導関数である。
　　　　　　→　「x2-3x+5」は「2x-3」の原始関数である。

〔例２〕　log x　を微分すると　1/x になる
　　　　　　→　「1/x」は「log x」の導関数である。
　　　　　　→　「log x」は「1/x」の原始関数である。

同じことを言っているのだが，どちらを主語にするかで言い方が変わってくる。
関数 f(x)=2x について考えてみましょう。この原始関数は何か？（つまり，微分すると2xになるような，元の関数は何か？）と聞かれたら，多くの人が

　　　　　　　「x2」

と答えるでしょうね。もちろんその通りなのですが，実はこれだけでは不十分なのです。

というのも，「2x」の原始関数は，「x2」の他にもあるからです。

例えば，「x2+5」はどうですか？　微分すると「5」は消えてしまいますから，これは確かに2xの原始関数です。同様に，「x2-3」や「x2+100」，「x2+1/3」などでも構いませんよね。

微分したらどうせ定数は消えてしまうのですから，「x2」の後にはどんな定数がついていてもいいことになります。つまり，「2x」の原始関数は，定数を変えることによっていくらでも考えられることになります。

そこで通常は，「2xの原始関数は？」と聞かれた場合，「x2＋C」のように，「はっきり言えないが，定数Cが付きます」という答え方をすることにします。この定数Cのことを積分定数といいます。
〔例〕　cos xの原始関数は，「sin x +C (Cは積分定数)」

微分したらcos xになるような元の関数は何か？　と聞いているわけだが，「sin x」，「sinx +4」，「sin x -7」など，たくさん存在するので，上のように「本体＋定数」という答え方をする。「Cは積分定数」というセリフも書こう。
関数f(x)の原始関数は「F(x)＋C」という式で書けることは分かりましたね。

さて，原始関数のことを別名，「不定積分」ともいいます。定数Cが付いてしまい，はっきり定まらないからです。
f(x)の不定積分を求めることを，「f(x)を積分する」といいます。

導関数を求めることを「微分する」といいましたよね。あれとちょうど逆の言い方になります。ですから，積分することは，微分することの逆計算になるわけです。

例えば関数f(x)=2xを積分すると「x2＋C」になりますし，f(x)=cos xを積分すると「sin x +C」になります。

さらに，次のような記号を使って表現します。

　　　　　　　「f(x)を積分したら，F(x)+Cになる」　――→　「∫f(x)dx = F(x)+C」

「∫」は「インテグラル」と読みます。積分するという英単語の頭文字，「S」をもじったものです。「∫」と「dx」は必ずセットで使い，この間に積分したい関数f(x)をはさみます。
〔例１〕　∫2x dx = x2+C
　　・・・2xを積分したら，x2+Cになる，と言っている。

〔例２〕　∫cos x dx = sin x +C
　　・・・cos xを積分したら，sin x +Cになる，と言っている。
では，これから色々な関数を積分することにしましょう。

next