三角比は直角三角形じゃないと定義できない?
 地面と30°の角をなす板(半直線OA)があったとして,その上を人が歩いているとします。この人が,板の上のどの地点Aにいたとしても,図中のAH/OA,OH/OA,AH/OHという分数の値は同じです。これらは「30°」という角を変えない限り絶対に変わりませんから,「30°」という値に固有の数値だと考えられます。
 そこで,これらの値を順に,sin30°,cos30°,tan30°と名付け,30°の三角比と呼んでいるわけです。ここまではよく知っていることでしょうから,何を今更,という感じでしょうね。

 ところで,直角三角形には3つの辺があります。sin(正弦),cos(余弦),tan(正接)は,3辺のうち2辺を選んで分子分母に並べたものですが,3つの辺から2つ選んで組み合わせる方法は6通りあります。つまり,OA/AH,OA/OH,OH/AHという比の作り方も出来ますし,これらもちゃんと一定値になります。なぜ,これらが三角比として採用されなかったのでしょうか?
 でもご心配なく。これらも立派な三角比の仲間で,それぞれ正割余割余接
と名前がついていて,

       sec30°(セカント), cosec30°(コセカント), cot30°(コタンジェント) 

と書かれることになっています。結局のところ,三角比には6種類があるのですが,通常はsin,cos,tanの3つがあれば,残りはその逆数ということで済むので,残る3つはあまり学習することはなくなってきました。

さて,数学に興味のある人であれば,ここまでの話も実は知っていたかもしれません。ちょっと詳しい数学の本を見れば,全部載っていることですからね。

では問題。どうして三角比は直角三角形の比で定義されているのでしょうか?

裏を返して言えば,三角比の定義,直角三角形ではなく,普通の三角形によるものも考えられるのです。

              

例えば上の図のような△OAHを考えましょう。どちらの三角形でも∠Oは60°ですが,例えば直角三角形のときのsinにあたる比,AH/OAは,左と右の三角形で全然違いますね。当然です。これらの三角形は相似ではないからです。もっと核心に迫ったことを言えば,∠Hが等しくないからです。

つまり,直角三角形でない三角形の場合,左下だけでなく,右下の角まで一致すれば,AH/OAなどの比は一定だといえます。そこで,次のように定義することにしましょう。

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   △OAHの三角比とは,∠O=α,∠H=βとするとき,
    sin(α,β)=AH/OA
, cos(α,β)=OH/OA, tan(α,β)=AH/OH
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とくに,βが90°のときは,普通の三角比と同じになります。このように約束をしておけば,どんな三角形に対しても三角比が定義できます。この表記によって三角比のいろいろな公式(正弦定理,余弦定理)も導くことが出来ます。

もちろん,こんなややこしい定義で三角比を考えていたら,とても実用的な計算はできません。あくまでも,こんな定義もあるんだよ,という紹介だと思ってください。

ただ,こうして数学の世界というのは広がっていくんです。ここをこう変えたらどうなるだろう? もしこの条件がなかったらどうなるんだろう? と考える習慣をつけておくのは大事なことですね。