次元を超えるベクトル
 ベクトルは高校数学で最も分かりにくい概念です。本来高校生の段階で完全に理解できるような代物ではないのですが,図形的に「矢印」というイメージを与えることでかろうじて高校生でも何とかなるようにしてあります。
 ベクトルが分かりにくい原因のひとつに,ベクトルを「量」として導入することが挙げられます。「大きさと向き」の2つの要素を合わせて1つの量である,という概念は高校で始めて出てくるわけですが,あまり深くそれを追求しないうちに次の日からその量は「矢印」ということになってノートの上を飛び回り,足し算だ,引き算だ,と騒ぐわけです。よく分からないものを足したり引いたりしても,何をやってるんだか分かりませんよね。きっと。ゴメンね,高校生諸君。

 高校数学でベクトルを学習するのは図形問題を簡単にしようという意図があるからです。ベクトルを利用すれば,これまでは合同だ相似だ円の条件だ,と次々に定理を作り出して必死に頑張っていた図形の計量や証明といった問題がびっくりするくらい簡単に解けてしまいます。定理もほとんどいりません。

例えばある四角形ABCDが平行四辺形であることを証明するのに,今までであれば△ABCと△DACが合同であることを説明したり,余弦定理などを使って辺の長さを求めたりと結構な苦労を強いられました。しかしベクトルを利用すればたった一言「AB=DC」であるというだけで済みます。

しかしベクトルが数学や物理でチヤホヤされる理由はそういうことではありません。(チヤホヤされてるんですよ 笑) ベクトルが素晴らしいのは「ベクトルは次元を超越する」という点にあります。

ベクトルの成分というのを学習したと思います。a=(a,b)とかいうアレです。実はこの成分こそがベクトルの正体であるといっても過言ではありません。今書いたのは平面(2次元)ベクトルですが,空間(3次元)ベクトルを成分で表したいときはa=(a,b,c)のように数字を3つにすればOKです。私たちの直感を超えた空間である4次元空間でのベクトルも,a=(a,b,c,d)と,数字を4つ連ねるだけで具体的に表現できます。あとはいくら次元が増えても同じことです。

これは大変な武器になるんですよ。

例えば「平面上に△ABCがあり,BCの中点をMとする。〜の長さを求めよ。」といった問題が出されたとしたら,皆さんはノートの上に図をかいて考えることができます。少し変わって「空間内に三角錐ABCDがあり,BCの中点をM,DAの中点をNとする。〜の面積を求めよ。」と言われたとしても,皆さんは図をかいて考えることができるでしょう。

しかし,「4次元空間内に図形ABCDEがあり,ABの中点をM,CEの中点をN,BDの中点をLとする。〜を求めよ。」と言われたらどうしますか? もはや我々にはノートに図をかいて考えることすら不可能です。
でもベクトルを使えば,このよく分からない空間内の点A,B,C,D,Eを,具体的な成分を用いて表すことができます。あとはベクトルの加減や内積等を駆使すれば,図がわからなくても計算ができることになります。

つまり,直感的に認識することが不可能な空間にベクトルというメスが入ることにより,その中での辺の長さや面積といった量を具体的に計算することが可能になるのです。これは高次元の空間のしくみや性質を分析するのに極めて役立ちます。そして,こうした高次元の空間の解析は現代数学,物理学ではなくてはならないことなのです。(近年の物理学では11次元空間までの解析が普通に必要とされています)


全体に漠然とした話になってしまいましたので,どれくらい伝わったかは分かりませんが,とにかくベクトルは次元を超越した凄いやつなのです。あんまりいじめないでやってくださいね。笑