コピー用紙を科学する
有名な話かもしれませんが,コピー用紙の規格はどのようになっているかご存知でしょうか?


A4の用紙が210mm×297mm。A3の用紙はA4の2枚分で,297mm×420mm。


B5の用紙が182mm×257mm。B4の用紙はB5の2枚分で,257mm×364mm。(B版についてはJIS規格のものです)


ずいぶん中途半端な長さを採用しているんだな,とお思いの方もいらっしゃるでしょうが,今回注目していただきたい点はそこではありません。


それぞれの紙の,縦横の比率なのです。

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それぞれの紙において,縦の長さが横の長さの何倍なのかを計算してみると,ある一定の数値が見えてきます。

  297÷210=1.414・・・

  420÷297=1.414・・・

  257÷182=1.41・・・

  364÷257=1.41・・・

誤差はもちろんありますが,どの紙も大体

  「縦が横の1.41倍」

になっていることがお分かりだと思います。


この,1.41という数値,いったいどこから来たのでしょう?


う〜ん・・・ この数の並び,どこかで見たような聞いたような・・・



ヒトヨヒトヨニヒトミゴロ・・・

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実はこの1.41の正体は,世の中でも大変有名な数である,√2です。


  √2=1.41421356・・・(ひとよひとよにひとみごろ・・・)


といえば,一度はどこかで聞いたことがおありでは?


そうなんです。実はコピー用紙などで使用される「A版」「B版」と呼ばれる紙は,すべて縦が横の√2倍になるように設計されているのです。



しかし,なぜなのでしょう?



確かに√2といえば有名な数ですし,知っている人もたくさんいるでしょうが,実際は1.41という中途半端な小数です。長さを測ったり,切ったりするときに,不便なような気がしますよね。


いっそのこと,「縦を横の2倍」と決めてしまったほうが,計算も楽だし,実用的でいいのに・・・



ところがそうしてしまうと,ぜんぜん実用的ではないのです。

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コピー用紙の特徴は,「半分に切ると,次のサイズのコピー用紙ができる」という点です。

B4サイズのコピー用紙を半分に切ると,B5サイズのコピー用紙ができます。A3を半分にすると,A4ができます。元になる用紙を次々と半分に裁断することで,無駄も出ず,効率よく,たくさんの種類のコピー用紙を作成することができるわけです。


もしも,「縦が横の2倍」という用紙があったとしましょう。例えば,縦が20cm,横が10cmの用紙だとします。


この用紙を半分にすると縦が10cm,横が10cmの正方形の用紙ができます。

縦と横の長さが同じになってしまいました。元の用紙は縦横比が2:1だったのに,切ると1:1になってしまいます。



コピー用紙では「拡大,縮小」を頻繁に繰り返しますから,サイズが小さくなるたびに用紙の形が違ってしまっては,うまく印刷をすることができません。


上手に効率よく,拡大縮小を行うためには,半分に切る前と後とで,用紙の形が同じ,つまり「相似」でなければならないわけです。

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では,なぜ√2倍だとうまくいくのでしょう?

ちょっと計算してみると,すぐに分かります。



いま,縦の長さが横の長さのx倍だということにしてみます。横の長さが10cmだとすると,縦の長さは10xcmということです。

この紙を半分に切ると,縦が10cm,横が5xcmとなります。この用紙でも,縦が横のx倍になっていてほしいですね。ですから,

  10÷5x=x

という式ができ,

  10=5(xの2乗)

  (xの2乗)=2

   x=√2

ということで,√2倍すれば,切る前と後でうまく相似が作れると分かるのです。

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コピー用紙の規格には,国際規格であるISOによるものと,日本独自の規格であるJISによるものとがあり,A版ではどちらも同じですが,B版では両者で少しサイズが異なっています。

もともとはドイツで考案されたISOによるサイズを日本が採用し,一部変更を加えたものなのだそうですが,日本で古来から使われていた古紙などの規格に近くするため,この√2という倍率を使わなかった時期もあるそうです。

コピーや出版物全盛の現代社会において,このコピー用紙の仕組みは実に便利で効率のいいものです。パルプ資源を有効に活用し,少しでも無駄のないシステムを作りたかったというのが,森林大国ドイツでISO規格が考案された1つの理由だといわれています。そのために数学が少し貢献していると考えると,うれしい気持ちになりますね。


皆様も今度,職場やコンビニでコピーをされる際は画面表示に注目してみてくださいね。

きっと,「141%」などの倍率表示を目にすることができると思います。



「おお,√2君,がんばってるね!」



と,ぜひ声をかけてあげてください。


ただし,ほんとに口に出してしまうと,周りの人がギョッとしますんで,心の中でお願いしますね。

【2009年2月】