三角形の心
  円があったとして,この中心はどこですかと言われたら,誰でも同じようなところを指差すことができるはずです。円とその中心とは,お互いに強いつながりを持った関係にあります。

正六角形の中心はどこですか?と聞かれたときも,割と簡単に答えることができるのではないでしょうか。3本の長い対角線で正六角形を6枚の正三角形に分けたとき,中央にできる交点が正六角形の中心だと言えるでしょう。

でたらめな三角形があったとします。正三角形とか,直角三角形とかいう,きれいな三角形でなくても構いません。

この三角形の中心はどこですか?

と尋ねられたら,皆さんはどのように答えるでしょうか。

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最近は少なくなってきたそうですが,実はこの問題,一昔前までは小・中学校の算数・数学の授業でよく扱われてきたテーマです。中心とは,「まんなか」,「物事の集中する場所」,「重要な意味をもつ場所」といった意味で用いられる言葉ですから,


「三角形の中心」


とは,「三角形において,重要な意味をもつ点」と考えてよさそうに思います。

問題は,何をもって重要だと考えるかになります。

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小学生に三角形の板を渡して考えさせると,多くの子どもたちが1本の指で三角形を下から支えて,バランスをとろうとするんだそうです。この場合はヤジロベーのように,ぴたりと支えることができる点を「重要な点」だと考えることになります。

これは三角形の重さが集まる点ということで「重心」と呼ばれます。先ほどの円や正六角形の中心も,この「重心」となっていますので,円や正六角形を指1本で支えることができます。

「重心」は,三角形の「中心」と呼ぶにふさわしい点だといえます。

重心は,いちいち指で支えて確かめなくても,紙の上で作図することができます。三角形の3つの頂点から,その向かい側にある辺の中点に向かってそれぞれ線を引くと,見事に1点で交わります。ここが重心となることが知られています。

〔http://www.naop.jp/topics/topics3.htmlを参照〕

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ところで,重心とは重さに着目したときの中心ですが,着目の仕方は他にもあります。

「中心というからには,円が関係していてほしい」

という考え方もできます。

正六角形の中心にコンパスをあてて円をかくと,正六角形の頂点は全て円周の上に乗り,正六角形は見事に円に内接します。このように,図形を包み込む円のことを「外接円」といいますが,この外接円の中心を,その図形の中心だと考えるとどうでしょう。

でたらめに書いた三角形の場合,重心は外接円の中心にはなりません。重心にコンパスをあてて円をかいても,三角形の頂点の全てが円周の上には乗らないのです。

外接円の中心となる点を「外心」と呼びます。三角形の外心は,重心とはまた別の位置にあります。詳しい説明は省きますが,3つの辺の垂直二等分線が交わったところにあります。

外接円とはその図形を包む大きな円のことでしたが,その逆に,図形の内側にぴたりと接する小さな円もあります。これは「内接円」と呼ばれます。

内接円の中心を「内心」といいます。この内心は,重心,外心とはまた異なる点です。3つの角の二等分線が交わるところにあります。


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何だか中心になりそうなものが3つも出てきてややこしくなったな,とお思いでしょうね。視点を変えると,何が重要かも変わってきますので,それに伴っていくつも中心が出てくるわけですが,誠に恐縮です。あと2つあるのです。

1つは「垂心」。これは,各頂点から向かい合う辺に向かって垂線を引き,それらが交わった点です。

もう一つは「傍心」。三角形の3つの辺を直線だと考えて延長したとき,3本の直線の全てに接する円が4個ありますが(三角形の中に1つ,外に3つ),この外側にできる円の中心になります。


重心,外心,内心,垂心,傍心。

この5つの「中心」を,三角形の五心と呼んでいます。

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中心の「心」は,「芯」とかかれる場合もあるようです。この場合は「ものの中,中央」という意味で,やや物理的な意味が強くなるようですが,私は「心」の方が好きです。

三角形には「心」がある。しかも5つも。

なんだか,無味乾燥な幾何学図形にとても暖かみを感じませんか?