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負の数の割り算と余り ～整数と余りの問題 | |||||||||
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| 今回のテーマは，「負の数の割り算の余り」です。 １．割り算の余りとは 前回，このトピックスで「分数の割り算」の話をしましたが，その中で， 割り算(の答え)は全て，分数で書くことができる と言いました。それはもちろんその通りなのですが，小数や分数を学習する前の小学校では，割り算をしたときに「余り」を考えていたと思います。 15÷７＝２・・・１（余り１） 34÷５＝６・・・４（余り４） といった具合です。余りを表すのに使った「・・・」というのは正式な数学記号ではありませんので，高校に入ると 15＝７×２＋１ 34＝５×６＋４ と表現するようになります。つまり， (割られる数)＝(割る数)×(商)＋(余り) という形です。 ------------------------------------------------------ ２．負の数を割ったときの余りは？ この考え方を理解すれば，負の数の割り算の余りを考えることができます。 例えば，-34を５で割った余りを考えてみましょう。 -34＝５×(商)＋(余り) という式で表せればよいわけで，(商)と(余り)の部分にあてはまる数を考えればよいことになります。 注意しなければならないのは，５で割っているわけですから，(余り)は０，１，２，３，４のどれかでなければいけません。 (商)の部分に，色々あてはめてみると … -34＝５×(-６)＋(-４) ←余りが負の数なので，ダメ -34＝５×(-７)＋(１) ←ＯＫ -34＝５×(-８)＋(６) ←余りが多すぎるので，ダメ … つまり，-34を５で割ると，商が-７，余りが１と考えられるということです。 負の数の割り算は， (割られる数)＝(割る数)×(商)＋(余り) という形を作り，余りの部分に注意しながら当てはまる数字を考えれば計算できることになります。 ------------------------------------------------------------- ３．余りが負になることはあるのか？ 少し話題を変えて，「余りが負の数」という場合を考えてみましょう。 例えば，34を５で割るとき，余りを求める式をかいてみると， ① 34＝５×(５)＋(９) ② 34＝５×(６)＋(４) ③ 34＝５×(７)＋(-１) 等，書き方自体はいろいろあるわけです。先程は，②の式が正しいですよ，と言いましたが，①と③の式にも，意味がないわけではありません。 ①は，「34個のお菓子を５人で分けるとき，５個ずつ配ったら，９個余った」と読めます。実際は，まだ９個も余ってるんだから，あと１個ずつ分ければいいでしょ！と言われてしまいますけどね。 一方③は，「34個のお菓子を５人で分けるとき，７個ずつ配ったら，-１個余った」と読めるわけですが，これはつまり， 「34個のお菓子を５人で分けるとき，７個ずつ配ったら，１個足りなくなった」 ということですよね。 そうです。「余りが-１」というのは，「１足りない」という意味になります。 「足りない」という考え方を使えば，「負の数の余り」を考えることができるのです。 10÷３＝３・・・１ →商が３で，１余る 10÷３＝４・・・-２ →商が４で，２足りない という具合に，同じ割り算でも，違う解釈ができることになります。一般的に，正の余りも負の余りも，割る数よりも絶対値が小さいのが基本ですから，３で割るのであれば余りは「-２，-１，０，１，２」のいずれかにするのが良いと思います。 ----------------------------------------------------------- ４．文字式への応用 中学・高校数学では，整数を文字で表すことがあります。 偶数は２n，奇数は２n＋１，３の倍数は３m，といった具合です。 「３で割って，１余る数」は，「３×(商)＋１」と書けるはずですから，文字を使うと３m＋１と表すことができますが，「１余る」ということと，「２足りない」ということは同じですから，「３×(商)－２」つまり３m－２と表してもよいことになります。 証明問題で，文字を用いて整数を置き，計算した答えの余りを答えたりする場合，例えば計算結果が次のようになったとすると， ３m＋７ ＝3m＋6＋1＝3(m+2)+1 →３で割った余りは１ (商はm＋２) ６m2－９m＋11 ＝6m2-9m+9+2＝3(2m2-3m+3)+2 →３で割った余りは２ (商は2m2-3m+3) 12xy＋15x－３y－２ ＝12xy+15x-3y-3+1＝3(4xy+5x-y-1)+1 →3で割った余りは１ (商は4xy+5x-y-1) と変形をすることで，余りを求めることができます。 ----------------------------------------------------------- 割り算の余りの問題では (割られる数)＝(割る数)×(商)＋(余り) が基本になっている，ということ，お分かりいただけたでしょうか。 |
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