ありがとう，対数(1)　～対数の意味

指数と対数，という風にセットで語られることが多い「対数」という考え方。

 

少しわかりにくい概念ですが，簡単に説明しますと，

 

aを何乗したらMになるかを表す数

 

ということになります。

 

例えば，

①質問「2を何乗したら8になるか」　→答えは「3」

②質問「3を何乗したら243になるか」　→答えは「5」

 

このような質問に対する答えのことを，対数というのです。

 

質問と答えをひとまとめの数式にして表す方法がありまして，上の例ならば

①log₂8=3

②log₃243=5

と表現されます。記号「log」の登場ですね。数学用語としては

①「2を底とする8の対数は，3」…「2を何乗したら8になるか，答えは3」

②「3を底とする243の対数は，5」…「3を何乗したら243になるか，答えは5」

という風に用いられています。少し込み入ってきましたが，とにかく，

 

log_aMとは，「aを何乗したらMになるか」を表す数だ，ということだけ抑えていただければ大丈夫です。

 

ところで，log₂5，つまり「2を何乗したら5になるか」の答えはいくらでしょう。

言い換えると，「2^□＝5」という式の，□に入る数字はいくらでしょう。

 

・・・そんな数字ないでしょ！？

 

と思われるかもしれません。□に入る数字を整数だと決めつけてしまうと，確かに答えはありません。

 

2²＝4

2^□＝5

2³＝8

 

という関係を考えれば，□に入る数字はおそらく2と3の間の小数になるでしょう。

実際，□＝2.3219280948874…という，ずいぶん細かい小数が答えです。

 

２^{2.3219280948874…}＝５

log₂5＝2.3219280948874…

 

というわけですね。

このように，対数の答えはきれいな数ばかりではありません。

 

対数のいいところは，どんな数字でも「ある数を基準」にしてレベル分けができるという点にあります。例えば2を基準にすると，

 

4は2²だから，レベル2

8は2³だから，レベル3

128は2⁷だから，レベル7

 

という具合です。小数も使っていいとなると，

5は２^{2.3219280948874…}だから，レベル2.3219280948874…

という表現も可能ですから，どんな数でも2を基準にしてレベルを付けられることになります。

 

特に10を基準にしたレベル分けは，様々な場面で活用されいるんです。

 

対数は本当にいろいろな分野で活躍しています。その大きな要因は，対数の2つの性質

 

①log_aM^r=rlog_aM

②log_axy=log_ax+log_ay

 

にあります。特に底が10のものは常用対数と呼ばれ，最も多く応用されています。

 

身の回りには「10ⁿ」で表現される数値がたくさんあります。

 

化学では分子量や濃度を，例えば「6.0×10²³」のように表現したりしますし，天文学では恒星間の距離を，測地学では地震のエネルギーの大きさを表すのにこの「10ⁿ」という表現を使います。要するに，巨大な数値を扱わなければならない分野で，頻繁に出てくる表現です。

 

例えばある量を「レベル」別に分類したいとします。

しかしその量は，紙に書くのが大変なくらい巨大な桁数の数値になるとします。

 

ア) 3245，イ) 536710932，ウ) 37482930418948550028394610

 

くらいまでなら何とか書くことが出来ますが，あんまり大きいようだと

 

エ) 0.37×10³⁴

 

といった書き方も必要かもしれません。

 

これら数値の桁数を，そのレベルと呼ぶことにすると

 

ア）の場合は「レベル4」

イ）の場合は「レベル9」

ウ）の場合は「レベル26」

 

という風に定義できます。

エ）の場合は，「10³⁴」と部分を見れば，すぐに「レベル34」だと分かりますね。

 

つまり，「A×10ⁿ」（ただし0＜A＜1）という形にしてしまえばその数は「レベルn」だと分かることになります。

数の大きさを，指数だけで表現してしまおうというのです。

こうすることで，どんな巨大な数でも効率よく，nという小さな数で分類することが出来ます。

 

もう少しきちっといえば，これは対数による定義だといえます。数のレベルは，その数に「log₁₀」をつけてみて，

log₁₀(A×10ⁿ)＝log₁₀A＋log₁₀10ⁿ＝log₁₀A＋ｎ

とし，その整数部分ｎである，と約束してしまえばよいのです。

 

対数の性質①，②のおかげで，巨大な数をキレイに分解し，簡略化することが出来るのです。

 

対数は

 

さて，難しい話が続いてしまいましたが，この「数のレベル」が利用されているものに次のものがあります。

(1)　水素イオン濃度・・・ｐH，水溶液の酸性，アルカリ性の尺度
(2)　マグニチュード・・・M，地震が震源で持っているエネルギーの尺度
(3)　星の等級・・・○等星，星の明るさの尺度
(4)　音・・・デシベル，音の大きさの単位

 

例えば「ｐH８」とか「マグニチュード7.2」とか，「2等星」とか言いますよね。

 

乱暴に言えばこれらは全部「水素イオンの濃度が○×10^-8」，「地震のエネルギーが○×10^7.2」，「地球から星までの距離が○×10²」という風に表された結果です。（本当に雑な言い方なので，きちんと勉強したい人は専門書を調べてくださいね。）

 

10を｢1｣，100を｢2｣，1000を｢3｣，10000を｢4｣という対数の感覚，こんなにも身近な分野で大活躍しているんですね。

 

対数の発明は，このような巨大な数を扱う学問，特に天文学の分野に計り知れない貢献をしました。

 

上の例だけでも十分それは分かるのですが，対数がもたらした最大の功績は，実は「計算革命」にあります。それは次回お話しましょう。