 |
四角形の仁義なき戦い ～四角形の種類と関係 | |||||||||
|
||||||||||
| 四角形にはいろいろな種類がありますね。 長方形，正方形，台形，ひし形，平行四辺形など，特徴によっていろいろな名前がつけられています。 ところで，ヘンな質問をするようですが，今上に挙げた５つの四角形のうち，一番「偉い」四角形は何だと思いますか？ あるいは，「偉い」順番に並べると，どのような順番になると思いますか？ ---------------------------------------------------------------------------- 何をもって「偉い」と呼ぶのかは，その人の考え方次第なのかもしれませんが，私が今言いたいのはこういうことです。 例えばあなたが四角形だとして(無茶な設定ですね～)，今からある集まりに参加したいとします。 「四角形」という集まりに参加したければ，あなたは「４本の直線で囲まれている」という条件を満たしていなければなりません。 「台形」という集まりに参加したければ，あなたは「４本の直線で囲まれていて，さらにそのうちの１組(２本)が平行」という条件を満たしていなければなりません。 どちらの集まりに参加する方が難しいでしょうか。 もちろん，「台形」の方ですね。 正確にいえば，「台形」の集まりに参加する資格がある人は，みんな「四角形」の集まりに参加する資格があるわけです。 「台形」は「四角形」の中にある，より特別な集まり だといえます。そういう意味で台形は四角形よりも「偉い」と呼ばせてください。 ---------------------------------------------------------------------------- では，「台形」と「平行四辺形」ではどちらが偉いでしょうか。 「台形」への入会条件は「１組の辺が平行」であること。 「平行四辺形」への入会条件は「２組の辺が平行」であること。 入会条件だけ比べれば，明らかに「平行四辺形」の方が条件が厳しいですね。さらに，「平行四辺形」に入会できる人なら，みんな「台形」に入会できることもお分かりですか？ 平行四辺形は，台形の特別な場合なのです。 広い意味で「台形」といった場合，その中には「平行四辺形」も含まれていることになります。台形という「組織」の中の，１つの派閥が「平行四辺形」であるともいえますね。 以上のことから，平行四辺形は台形よりも「偉い」と呼べそうです。 ---------------------------------------------------------------------------- この調子で調べていくと，平行四辺形の特別な場合として「長方形」があります。 平行四辺形がさらに「４つの角が全て直角」という条件を兼ね備えたとき，初めて長方形になることが出来るからです。 つまり，長方形は，平行四辺形という「組織」の中の，１つの「派閥」であるといえます。 さらに，長方形に「４つの辺が全て等しい」という条件をつけると，「正方形」になります。正方形は長方形の特別な場合です。 ここまでの「偉さ」の順位を書いてみると， ⑤四角形 → ④台形 → ③平行四辺形 → ②長方形 → ①正方形 となります。右に行くほど，入会するための条件が厳しくなり，特別度が上がります。逆に，左に行くほど「組織」としては大きくなります。 分かりにくくなるかもしれませんが，動物でたとえると， 生物→動物→哺乳類→イヌ科→ブルドッグ みたいな状態になっているわけです。 ---------------------------------------------------------------------------- ・・・とここまで，四角形に系統立てた序列をつけてきたわけですが，気がついた方もいらっしゃるかも知れません。 「ひし形はどこに入るんだ？」 ひし形とは，４つの辺が全て等しい四角形です。 もちろん四角形の仲間ですから，上の⑤よりは偉いです。ひし形は「１組の辺が平行」という条件を満たしていますので，④よりも偉いです。さらに，「２組の辺が平行」という条件もクリアしますので，③よりも偉いことになります。 結構「偉さ」としては上位に食い込む四角形なのです。 かといって，①の正方形ほどは偉くありません。ひし形に「４つの角が直角」という条件をつけてやっと正方形になれるくらいですから，ひし形は①よりも順位が下です。 となってくると，②の長方形とひし形のどっちが偉いのか，ということになってきます。 ところがこの２者，どちらも一歩も譲らないのです。 長方形が平行四辺形よりも優れているのは「４つの角が全て同じ(直角)」であること。 ひし形が平行四辺形よりも優れているのは「４つの辺が全て同じ」であること。 「ひし形」に入会できる人が「長方形」に入会できるわけではないし，その逆も同じ。 つまり，ひし形は長方形の特別な場合ではないし，その逆も同じです。 ひし形も長方形も，あと１つ条件を加えるだけで「正方形」になれます。 ・・・と以上のように，お互いにどちらが「偉い」と言い切れず，引き分けに終わる関係なのです。 ／②長方形＼ ⑤四角形→④台形→③平行四辺形 ①正方形 ＼②ひし形／ 先ほど動物の例で 生物→動物→哺乳類→イヌ科→ブルドッグ という例えを出しましたが，考えてみれば「イヌ科とネコ科はどっちが偉いのか」という論争をやってるのと同じことで，結論が出ないのも当たり前です。 分類学上は「引き分け」と考えるべきで，「長方形」と「ひし形」は，図形的には全く「同レベルな」ものだといえるのです。 ---------------------------------------------------------------------------- このように図形を分類することに何の意味があるのか？ といわれると困ってしまいます。正直，数学的にそんなに役に立つことではないからです。 しかし，現行の中学校２年生の数学の教育課程では「ひし形は平行四辺形の仲間である」「正方形は長方形の特別な場合である」という指導がなされています。 一昔前は「正方形と長方形は全くの別物だ！」という風潮がありました。 子どもに真四角な折り紙を見せて，これは何ですか？と聞いたとき，子どもが「長方形！」と言ったら間違いだと言われたわけです。 あるいは，ひな祭りの菱餅をみて，子どもが「これは平行四辺形だ！」といったら，それは間違いだよ，と言われてしまっていたわけです。ひし形だって平行四辺形の仲間であるにもかかわらず，です。 これは，「ブルドッグはイヌ科ではありませんよ」と教えているのと同じです。このような指導をするよりは，きちんと図形に系統性をつけ，包含関係のあるグループとして指導することに，大きな意義があったのだろうと私は思います。 ---------------------------------------------------------------------------- ちょっと堅い話になりましたが，理屈はともかく，図形にも「偉さ」があるなんて，面白いと思いませんか？ ちなみに私のクラスで「ひし形 vs 長方形」の話題になったとき，大変紛糾してああでもない，こうでもないと子どもたちが議論した挙句，「ひし形の方が偉い」という結論に至りました。 理由は，ひし形は菱餅に似ていて美味しそう！ということでした。 ３月に授業をした影響が色濃く出てしまう結果となりました。 |
||||||||||
| 日刊『中・高校教師用ニュースマガジン』第１９１９号掲載 | ||||||||||
