集合と論理

1.何を学ぶのか

 

条件が明確なものの集まりを集合といいます。例えば「20歳以下の日本人の集まり」は集合ですが,「若い日本人の集まり」は集合ではありません。

 

 集合には普通,アルファベットの大文字で「集合A」,「集合B」のように名前をつけます。集合を構成するメンバーを要素といい,こちらはアルファベットの小文字で書きます。要素aが集合Aのメンバーであることを記号でa∈Aと表します。

 

 世の中にはいろいろな集合があるわけですが,例えば「2の倍数の集合A」と「3の倍数の集合B」の場合,A,Bのどちらにも属するような数が存在します。つまり,この2つの集合は共通部分を持っているといえます。この共通部分の集合のことを文字通りそのまま,共通部分(交わり)といい,A∩Bとかきます。

 

また,A,Bの少なくとも一方に属する数の集まりを和集合(結び)といい,A∪Bとかきます。これらはいわば集合と集合の「掛け算」「足し算」のような意味合いを持っていて,さまざまな集合についての「計算」を行う際に重要な概念になります。

 

 

 

 正しいか誤りかが明確に決定できる文や式を命題といいます。

 

例えば「1年は250日である」は命題ですが,「1年は短い」は命題ではありません。

 

命題の中にはもう少し複雑な「pならばq」という形のものもあり,この場合の文章pのことを仮定,文章qのことを結論といいます。もし「pならばq」という命題が正しいならば,pはqであるための十分条件,逆にqはpであるための必要条件であるといいます。

 

例えば「Sさんが鹿児島県にいるならば,Sさんは日本にいる」という命題を考えてみましょう。

 

この命題は正しいですから,「鹿児島県にいる」ことは「日本にいる」ための十分条件です。(鹿児島にいれば,もう十分日本にいることになります)

 

逆に「日本にいる」ことは「鹿児島県にいる」ための必要条件です。(鹿児島にいるためには,最低でも日本にいることが必要です)

 

「pならばq」という形の命題は,記号で「p⇒q」とも書きます。これを元の命題とするとき,「q⇒p」という形の命題を,「pでない⇒qでない」という形の命題を,「qでない⇒pでない」という形の命題を対偶といいます。

 

元の命題が正しいからといって,逆が正しいとは言えません。

 

しかし,元の命題が正しいならば,対偶は必ず正しくなります。

 

例えばある事柄を証明しなければならないとき,そのままでは証明しにくいが,文章を逆にすると証明しやすくなる場合があります。このとき,もとの命題を証明するのと,対偶を証明するのは同じことなので,証明がしやすいように文章を作りかえることができます。

 

 命題を応用した証明法にもう1つ,背理法というものがあります。これは「もし~だとすると矛盾が起こる。だから~ではない」という論法の証明で,広く応用されています。

 

 

 

2.何ができればよいか

 

① 集合に関する記号や用語を全て覚える。(今後いろんな分野で使うことになるので正確に)

   (記号) ∈,∩,∪,φ,⊂,⊃, ̄

   (用語) 属する,要素,含む,部分集合,共通部分,和集合,空集合,補集合

 

② 命題に関する記号や用語を全て覚える。

   (記号) ⇒, ̄

   (用語) 真,偽,必要条件,十分条件,必要十分条件,同値,逆,裏,対偶,否定

 

③ 集合の要素の個数計算ができるようになること。

    n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)などを利用。

 

④ 命題の真偽判定ができるようになること。

 

⑤ 「p⇒q」の形の命題において,必要,十分条件の判定が出来るようになること。

 

⑥ 元の命題が与えられたとき,その逆,裏,対偶命題を作れるようになること。

 

⑦ 対偶を利用した証明,背理法を利用した証明を理解すること。

 

 

※この分野が苦手な人は,まず以上の①~⑦が出来るようになってください。

 

   → 公式を覚えたい人はこちら

 

 

 

3.勉強のポイント

 

必要,十分条件の判定にはコツが要ります。繰り返し練習し,慣れておかなければなりません。後半に登場する2つの証明法は,考え方自体が新鮮であるため,理解するまでに時間がかかりそうです。

 

 この分野で学習することは,これから3年間で学ぶ数学の「あいうえお」のような,極めて基本的な事項ばかりです。用語や記号をしっかり覚えることはもちろんですが,いろいろな考え方等も十分に理解するようにしておきましょう。

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