式と曲線

 

何を学ぶのか
 これまでもたくさんの関数を扱い,いろいろなグラフや曲線に触れてきました。
 ところで,「関数のグラフ」という言い方と,「曲線」という言い方の違いがお分かりですか? 実は「曲線」という言い方の方が広い意味を持っています。関数ではないけれど,グラフが曲線になるようなものがあるからです。

 例えばx2+y2=1という式が表すのは,円という曲線です。この円が1つの関数ではないことは知っていますね?

また,サイクロイドという曲線がありました。x=a(θ-cosθ),y=a(1-sinθ)で表される曲線です。この曲線は関数ではありますが,yとxだけの式で表すことが困難で,θという媒介変数の助けが必要な曲線です。

数学の世界には,これまでの式で表せない,数多くの曲線が存在しています。それらはx,yだけの枠を超え,媒介変数の助けが必要だったり,場合によってはxy座標平面という発想すら変えなければならないほど,奥深い世界です。

 まず円すいを切断したときに現れる図形である「2次曲線」を学習します。2次曲線とは円,楕円,双曲線,放物線の4つの図形で,それぞれx,yによる式表示ができます。また,離心率という数値をはさんで,1つの式と捉えることも可能です。

次にサイクロイド,アステロイドに代表される,媒介変数を用いた曲線を学習します。

最後に,これまでのxy直交座標という発想と全く別の「極座標」という座標系を学習します。これは原点(極といいます)からの距離と,軸とのなす角を利用した座標系です。この座標系では,これまでなじみのある直線,円といった図形の式表示も全く変わってきます。

媒介変数,極座標を利用すると,実にたくさんのユニークな,あるいはとても美しい曲線を表現することができます。
何が出来ればよいか
@ 2次曲線の定義(式,頂点,軸,漸近線など)を全て覚える
A 曲線の媒介変数表示を見て,曲線がかける。
B 極座標と直交座標の相互関係を理解する。
     
x=rcosθ,y=rsinθ,r=√(x2+y2)
C 直交方程式と極方程式を,お互いに他に直せる。

※この分野が苦手な人は,まず以上の@〜Dが出来るようになってください。
勉強のポイント
 2次曲線の3つの式や点などの座標を覚えるのは少し大変かも知れません。特に双曲線は描きづらい曲線ですが,どの曲線も数学Vなどで必要な曲線です。しっかりかけるようになっておきましょう。
 媒介変数や極方程式で表された曲線は,たくさんありすぎて覚えられないと思いますし,覚える必要もありません。せいぜいサイクロイドの式を覚える程度で十分でしょう。ここでは曲線の美しさを十分に味わってください。
 極座標,極方程式の,簡単なものについては慣れておく必要があります。簡単な図形を極方程式で表す練習は必要だと思います。