2次関数・2次関数の最大値・最小値【応用解答】~高校数学問題集

変形すると,y=-(x-2)2+4+c

軸の方程式はx=2なので,区間-1≦x≦3で考えれば,x=-1のときが最小値,x=2のときが最大値となる。

さて,x=-1のとき,y=c-5。これが-3になるのだから,c-5=-3  ∴c=2

最大値はx=2のとき,4+cであったから,最大値は4+2=

 

x+y=3だから,y=3-x

これを2≦y≦4に代入して,2≦3-x≦4

各辺から3をひき,-1≦-x≦1

つまり,-1≦x≦1

また,x2+y2=x2+(3-x)2=2x2-6x+9

以上から,f(x)=2x2-6x+9 (-1≦x≦1)の最大値,最小値を求めればよいことが分かります。

f(x)=2(x-3/2)2+9/2 より,グラフは右のようになるので

 x=-1のとき,最大値17 このとき y=4
x=1のとき,最小値5 このとき y=-2


 

 t がはっきりした数字ではないので,グラフの右端がどこまでなのかがはっきりしません。

t の値が変化すると,グラフをどこまでかくのかが変わりますから,最大値,最小値にも変化が現れます。まずは上のアニメーションをじっくり眺めてください。

では解答に移ります。

見てもらって分かったでしょうか。

① t が0から4までのときは,グラフの最大値は左端,つまりx=0のときです。

② t が4より大きいときは,グラフの最大値は右端,つまりx=tのときです。

これをきちんと式で表現しましょう。

y=x2-4x-1=(x-2)2-5より,グラフは右図の通り。

(1) 0≦t<4のとき,最大値はx=0のとき,-1
(2) 4≦t   のとき,最大値はx=t のとき,t2-4t-1

 式を変形すると,y=(x-a)2+a-a2となるので,この2次関数のグラフは軸がx=aであることが分かります。

とはいえ,aという値ははっきりしませんから,軸がどこにあるのか分からない状態です。

xの範囲は,0≦x≦1(上の図の青い領域)ですから,この範囲の中に軸が入るのか,入らないのかで最小値の話は大きく変わってしまいます。

まずは上のアニメーションをじっくりご覧ください。

では解答に移ります。

見てもらって分かったでしょうか。

① 軸が青い領域の左側にあるとき,最小値はグラフの左端,x=0のときです。

② 軸が青い領域の中にあるとき,最小値は頂点です。

③ 軸が青い領域の右側にあるとき,最小値はグラフの右端,つまりx=1のときです。

これをきちんと式で表現しましょう。

(1) a≦0   のとき,最小値はx=0のとき,a
(2) 0<a≦1のとき,最小値はx=aのとき,a-a2
(3) 1<a   のとき,最小値はx=1のとき,1-a

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