線分は何個の点で出来ている? 〜直線上の点の個数
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線分は点の集まりである,ということは,どこかで聞いたことがあるでしょう。無数の点が集まって線が出来,無数の線が集まって面が出来る,という考え方は,数学の世界に限らず,いろいろな分野で当たり前のこととして,納得されていることだと思います。

 ここで問題です。幅が1cmの線分と,2cmの線分,どちらがたくさんの点を含んでいるでしょうか?

 簡単な話ですね。2cmの方です。

 と言いたいんですがね。残念ながら同じなんです。

 2つの集団が1列に並んでいたとして,お互いに握手をするとします。お互いが1人の相手と握手をし,誰一人余らなかったとしたら,その集団の人数は等しいと言えます。この点,異論は無いですね?

 幅1cmの線分上にいる点全部が,2cm上の点全部と,誰一人余ることなく「握手」出来る,といえれば,両線分上の点の個数は等しいと言えます。

 数直線上に,1cm,2cmの線分を,左端が原点に来るように置いたとしましょう。そして,1cm上の,「n」という座標をもった点が,2cm上の「2n」という座標を持った点と握手するとしましょう。

 例えば1cm上の「0.3」という点は,2cm上の「0.6」という点と握手します。2cm上の「1.7」という点は,1cm上の「0.85」という点と握手します。

 こうすると,2cm上のどの点も,1cm上の誰かと,必ず1回握手が出来ます。

 つまり,どちらの線分上にも,同じ数だけ点が存在することになるわけです。

 もちろん,2cmの線分は,1cmの線分が2つ集まったものです。1cm上に点が「∞(無限大)個」あるとすると,2cm上には「2∞個」あるという考え方も出来るでしょう。

 ここで問題なのは,「∞」とは何か,ということです。「限りなく大きい数」とか,「数えられないほど多数」という意味があります。

 どうせものすごく大きい数なのですから,「∞」も「∞+1」も大して変わりませんよね。「∞+2」でも大して変わりませんし,「∞+1000」でも大して変わりません。だから,いずれも,「∞」という一言で片付けることが出来ます。

 同じ理由で,「∞」も「2∞」も大して変わらないということが出来ます。つまり,「3∞」だろうが,「100∞」だろうが,どうせ「ものすごく大きい数」なのですから,「∞」という書き方で済ませることが出来るわけです。だから,1cmだろうが2cmだろうが,その上の点は同じ「∞」という個数をもっている,と片付けてよいわけです。

 ただ,「∞」にもレベルがあります。自然数の個数も∞,実数の個数も∞ですが,この2つの「∞」はレベルが違い,はっきりと,「実数の方が多い」ということが出来ます。これは,お互いに握手をすると,実数の方が余ってしまう,という言い方で説明が出来ます。

 ∞の「レベル」は,数学用語で「位数」と呼ばれています。興味のある人は「初等解析学」という分野になりますので,調べてみるといいでしょう。

 「∞」という概念は非常に抽象的で,昔の人は大変苦しめられました。あまりの難しさに,∞の出てくる数学は考えないようにしよう,と決めた数学の派閥もあったほどです。現在でも無限大を扱うときは細心の注意を払わないと,いろいろな矛盾に陥ることがあります。

 最後に問題です。1cmの線分と,1cm四方の正方形の内部,どちらがたくさんの点を含んでいるでしょうか?

 まさかどっちも同じ個数なんて言わないでしょうね?・・・  答えは・・・
 


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