１．そもそも極限とは？
高等数学の入り口として世の高校生たちを悩ませるのが「極限」という考え方です。
読んで字の如く，「限りなく近づく」という発想なのですが，例えば「ｘ」が０に近づくと，「３ｘ＋１」という式の値は何に近づきますか？ というものです。
もちろん，１に近づくというのが正解です。「ｘが０になる」のだから，３ｘ＋１にｘ＝０を「代入」すればすぐ答えは分かります。
ただ，ここの所に日本語としての極限の「微妙」なニュアンスが入っています。
「極限」とは，「限りなく近づ」いたときの値のことです。
「ギリギリまで近づくけれど決してその値にはならない」
という意味が含まれています。だから，「０に限りなく近づく」といった場合は，
１→0.1→0.01→0.001→0.0001→・・・→0.00000000000000001→・・・
といったように変化をしていき，しかし決して0にはならない，という意味合いになってしまいます。
２．何のためにこんなことを考える？
どうしてこのような「ヘンな」考え方があるのかというと，数学では「その値になっちゃ困るけど，その値に近づけて考える必要がある」場合があるからです。
例えば，ある材料を10kg以上使ってはいけないといわれたとき，最大で何kgまで使うことができるかと質問されたら，どのように答えますか？
「9kg」
と答えるかもしれませんが，そんなことはありません。「9.5kg」でも「9.9kg」でも大丈夫なはずです。
そう考えてみると，「最大で何kg」と答えることはできません。10kgよりも，1gでも1mgでも少なければ問題ないわけですから，はっきりした値を言うことはできないわけです。
「10kgになっちゃ困るけど，限りなく10kgに近い値なら大丈夫」
これが，極限という発想なのです。
こんな例もあります。
数学では「０で割る」という行為は許されませんので，分数の分母に０がくることは許されません。
したがって，１／ｘという分数があったとき，ｘ＝０となっては困るわけですが，「限りなく０に近づく」ことは問題ないはずです。
ｘが０に限りなく近づくとき，１／ｘの極限はどうなるか考えてみましょう。
ｘ＝１からスタートして，徐々にｘを小さくしてみます。
ｘ＝１のとき，１
ｘ＝0.1のとき，10
ｘ＝0.01のとき，100
ｘ＝0.001のとき，1000
・・・
ｘ＝0.00000000001のとき，100000000000
分母が細かくなると，分数全体は大きくなっていきますので，ｘが0に近づけば近づくほど，１／ｘの値は限りなく大きくなります。
だから，極限は「いくら」といえないほど大きいので，「∞(無限大)」と表現します。
１個のパンを細かいサイズに分ければ分けるほど，かけらの数は多くなる，とでも言いましょうか・・・
３．極限のもつ「ややこしさ」
極限の考え方は，数学では「微分法」を学習するときに初めて登場します。関数のグラフの上に接線を引くとき，グラフ上の離れた２点を結ぶ直線を準備しておいて，その２点間の距離を限りなく近づける，という考え方をするのです。
小学校から続く算数・数学の学習の流れの中で，初めて学習する「動的な定義」がこの極限なのかもしれません。「限りなく近づくとき・・・」といった，動きを含めた言葉の約束は，このとき初めて体験することになります。
この違和感が，微分法の導入を難しくする一因なのですが，極限のもつ「ややこしさ」は，何も生徒たちだけが経験するものではありません。
数学の歴史の中でも，ずいぶん数学者たちは「アレ？？？」という思いをしてきました。
インチキではないけれども，だまされたような気分になる話をしましょう。
１／３＝0.3333333333・・・
だということは，皆さんご存知だと思います。
１／９＝0.1111111111・・・
２／９＝0.2222222222・・・
という風に，分母が9の分数は，同じ数字が繰り返す「循環小数」になることが知られています。
0.555555… は「５／９」だし，0.777777… は「７／９」です。
では，「0.9999999999・・・」は，いくらになるのでしょう？
正解は「１」です。
限りなく最大数９が出続ける小数は，1と等しくなるのです。
納得できますか？
この話は，「循環小数を分数に直す方法」「等比級数の和」などを利用して，きちんと数学的に正しいことが説明できるのですが，小学生向けに理由を説明するならば，次のようになります。
１－0.9999999999… を計算すると，「0.000000000…」になる。いつまでたっても0以外の数は出てこないから，これは「０」と同じだ。引き算した答えが０なのだから，2つの数字は同じものだ。だから，１＝0.9999999999…である。
いずれにしても，何だかややこしいというか，だまされたような，丸め込まれたような気になる結果です。以前拙稿でも「無限の恐ろしさ」というお話をさせていただきましたが，それに通じる奇怪さがあるような気がします。
４．さあ，「極限」のその先へ
私たちの日常生活において「極限状態」とは，できることなら出会いたくない状態です。
もうこれ以上は無理，という，ギリギリの状態のことだからです。
数千年の歴史をもつ数学という学問が，「無限」や「極限」という考え方にたどり着いたのは，まだほんの数百年前の話。それまで数学は，このややこしい，怪しい世界からあえて眼をそむけていたのです。
先人たちの壮絶な努力の甲斐もあり，数学は「極限」の世界へ足を踏み入れ，もがきながらも様々な成果を得続けています。
極限状態を乗り越えてこそ，見えるものがある，得られるものがある。
私たちにも言えることかもしれないな，と，生徒が極限の授業で「分からん」「分からん」と苦しむ姿を見る度に思います。
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