１．コピー用紙の縦横比は√２
有名な話かもしれませんが，コピー用紙の規格はどのようになっているかご存知でしょうか？
A4の用紙が２１０mm×２９７mm。A3の用紙はA4の2枚分で，２９７mm×４２０mm。
B5の用紙が１８２mm×２５７mm。B4の用紙はB5の2枚分で，２５７mm×３６４mm。（B版についてはJIS規格のものです）
ずいぶん中途半端な長さを採用しているんだな，とお思いの方もいらっしゃるでしょうが，今回注目していただきたい点はそこではありません。
それぞれの紙の，縦横の比率なのです。
それぞれの紙において，縦の長さが横の長さの何倍なのかを計算してみると，ある一定の数値が見えてきます。
２９７÷２１０＝１．４１４・・・
４２０÷２９７＝１．４１４・・・
２５７÷１８２＝１．４１・・・
３６４÷２５７＝１．４１・・・
誤差はもちろんありますが，どの紙も大体
「縦が横の１．４１倍」
になっていることがお分かりだと思います。
この，１．４１という数値，いったいどこから来たのでしょう？
う～ん・・・ この数の並び，どこかで見たような聞いたような・・・
ヒトヨヒトヨニヒトミゴロ・・・
実はこの１．４１の正体は，世の中でも大変有名な数である，√２です。
√２＝１．４１４２１３５６・・・（ひとよひとよにひとみごろ・・・）
といえば，一度はどこかで聞いたことがおありでは？
そうなんです。実はコピー用紙などで使用される「A版」「B版」と呼ばれる紙は，すべて縦が横の√２倍になるように設計されているのです。
しかし，なぜなのでしょう？
確かに√２といえば有名な数ですし，知っている人もたくさんいるでしょうが，実際は１．４１という中途半端な小数です。長さを測ったり，切ったりするときに，不便なような気がしますよね。
いっそのこと，「縦を横の2倍」と決めてしまったほうが，計算も楽だし，実用的でいいのに・・・
ところがそうしてしまうと，ぜんぜん実用的ではないのです。
２．半分に切っても縦横比が変わらないようになっている
コピー用紙の特徴は，「半分に切ると，次のサイズのコピー用紙ができる」という点です。
B4サイズのコピー用紙を半分に切ると，B5サイズのコピー用紙ができます。
A3を半分にすると，A4ができます。
元になる用紙を次々と半分に裁断することで，無駄も出ず，効率よく，たくさんの種類のコピー用紙を作成することができるわけです。
もしも，「縦が横の２倍」という用紙があったとしましょう。例えば，縦が２０cm，横が１０cmの用紙だとします。
この用紙を半分にすると縦が１０cm，横が１０cmの正方形の用紙ができます。
縦と横の長さが同じになってしまいました。元の用紙は縦横比が２：１だったのに，切ると１：１になってしまいます。
コピー用紙では「拡大，縮小」を頻繁に繰り返しますから，サイズが小さくなるたびに用紙の形が違ってしまっては，うまく印刷をすることができません。
上手に効率よく，拡大縮小を行うためには，半分に切る前と後とで，用紙の形が同じ，つまり「相似」でなければならないわけです。
では，なぜ√２倍だとうまくいくのでしょう？
ちょっと計算してみると，すぐに分かります。
いま，縦の長さが横の長さのｘ倍だということにしてみます。
横の長さが１０(cm)だとすると，縦の長さは１０ｘ(cm)ということです。
この紙を半分に切ると，縦が１０(cm)，横が５ｘ(cm)となります。
この用紙でも，縦が横のｘ倍になっていてほしいですね。ですから，
１０÷５ｘ＝ｘ
という式ができ，
１０＝５ｘ2
ｘ2＝２
ｘ＝√２
ということで，√２倍すれば，切る前と後でうまく相似が作れると分かるのです。
２．身近に潜んでいた√2，その働きに感謝！
コピー用紙の規格には，国際規格であるISOによるものと，日本独自の規格であるJISによるものとがあり，A版ではどちらも同じですが，B版では両者で少しサイズが異なっています。
もともとはドイツで考案されたISOによるサイズを日本が採用し，一部変更を加えたものなのだそうですが，日本で古来から使われていた古紙などの規格に近くするため，この√２という倍率を使わなかった時期もあるそうです。
しかし，コピーや出版物全盛の現代社会において，このコピー用紙の仕組みは実に便利で効率のいいものです。
資源を有効に活用し，少しでも無駄のないシステムを作りたかったというのが，森林大国ドイツでISO規格が考案された１つの理由だといわれています。
そのために数学が少し貢献していると考えると，うれしい気持ちになりますね。
皆様も今度，職場やコンビニでコピーをされる際は画面表示に注目してみてくださいね。
きっと，「１４１％」などの倍率表示を目にすることができると思います。
「おお，√２君，がんばってるね！」
と，ぜひ声をかけてあげてください。
ただし，ほんとに口に出してしまうと，周りの人がギョッとしますんで，心の中で・・・
コメント