マイナス×マイナスがプラスになる理由　～負の数の計算の意味～

１．正の数・負の数の計算は中学校最初の難関？

中学1年生の皆さんにとって，入学してからまもなく２ヶ月がたとうとしています。

私が中学校で教員をしていた頃の話ですが，入学して「算数」から呼び名が「数学」へと変わり，黒

板にも時間割表にも何回も「数学」という文字を書いているにもかかわらず，いまだに子どもたちが

私を見ては「あ，算数の先生だ！」と呼んでくる，そんな初々しい季節でもありました。

６年間慣れ親しんだ教科ですから，そう簡単に新しい呼び名に慣れるものではないのかもしれません

ね。

さて，そんなピカピカの数学で，初めて子どもたちが学習するのが「正の数・負の数」という分野で

す。

プラスとかマイナスの数字のことです。

面白いことに，＋５とか－３という数はほとんどの子どもが教える前から知っていて，３－７＝？と

質問すると，半分近くの子が「－４」と答えてきます。

マイナスの数自体は，天気予報やらゴルフのスコアやらで身近にあるので，小学校の頃から結構知識

を持っているようです。

初めて触れる中学校の数学は，こうした予備知識のある状態で進んでいきますから，あまりつまづく

子どももおらず，楽しみながら学習してくれているようです。

ところが，正の数・負の数の計算が始まると，徐々につまづく子どもたちが増え始めます。マイナス

の数を「足す」，「引く」，「かける」，「割る」といった，四則演算の規則の理解に苦しんでいる

ようです。

例えば，

－３と－５を足すと，－８

－４から－７を引くと，＋３

－２に－５をかけると，＋１０

といった計算を習うわけですが，このメルマガをお読みの皆さんは，どうしてこれらの計算の答えが

こうなるのか，理由をご存知でしょうか？

「う～ん・・・　どうしてだろう・・・」

というのを理解することが，中学校数学のまず初めの関門なのです。

２．どうしてマイナスかけるマイナスはプラスなの？

負の数の計算規則については，数直線を使ったり，カードゲームを使ったりなど，様々な工夫をしな

がら教えていくのですが，こんな解釈はいかがでしょうか。

＋は利益，－は損失だと考えてみましょう。

－３に－５を足すとどうなるか。

もともと「－３」という借金状態にある人に，さらに「－５」という負債を加えるわけですから，そ

の人の損失は増えてしまいますね。だから結論は「－８」になります。

ちなみに，「借金を加える」ことと，「利益を奪い去る」ことは，その人の経済力に与える影響が同

じですね。つまり，

「マイナスの数を足す」ことと，「プラスの数を引く」ことは同じことになります。

－４から－７を引くとどうなるか。

もともと「－４」という借金状態にある人から，「－７」という負債を取り除いてあげることになり

ますから，借金が消えるどころか，プラスに転じて，結果「＋３」という状態になります。

「借金を引き去る」ことと，「利益を加える」ことは同じことなのです。つまり，

「マイナスの数を引く」ことと，「プラスの数を足す」ことは同じことになります。

どうです？　かいつまんで説明をしたつもりですが，それでも結構ややこしいと思いませんか？　こ

こまでの説明を記号で表してみると，

　　＋（－５）＝－（＋５）・・・－５を足すことと，＋５を引くことは同じ

　　－（－７）＝＋（＋７）・・・－７を引くことと，＋７を足すことは同じ

ということになります。

さあ，最大の難関であるかけ算です。

「マイナスとマイナスをかけると，答えがプラスになる」というのは，多くの方がご存知だと思いま

す。でも，その理由まで答えられる方は少ないのではないでしょうか。

そもそも，かけ算とはどのような計算でしょうか。

例えば２×５というのは，「２を５回足す」ということ，つまり「２＋２＋２＋２＋２」のことで

す。

　　　２×５＝２＋２＋２＋２＋２

では，（－２）×５はどうなるかというと，

　　　（－２）×５＝（－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）

「－２」を５回足すことになりますね。借金を５回重ねるわけですから，結果は「－１０」となりま

す。

この場合は，かける数が「５」というプラスの数でした。本当は上の式をきちんと書くと，

　　　（－２）×（＋５）

ということになります。後ろの数がプラスだったからこそ，「＋５回足す」という言い方が出来たわ

けです。

ではいよいよ，後ろの数をマイナスにしてみましょう。

　　　（－２）×（－５）

そのままかけ算の意味に直すと，「－２を－５回足す」ということになります。

・・・－５回足す！？？？

何だそれ？？？　と固まってしまう方もいるでしょう。

しかし，思い出してください。

「－５を足すことと，＋５を引くことは同じ」

＋と－は，このように意味が逆となるような使い方ができるのです。この使い方によれば，

「－５回足すことと，＋５回引くことは同じ」

と考えられますので，－２を５回引くと，

　－（－２）－（－２）－（－２）－（－２）－（－２）

＝＋２　　　＋２　　　＋２　　　＋２　　　＋２

＝＋１０

ということになりました。

３．なんだか騙されたような気が…

・・・え！？　あんまりスッキリしなかった？

何だかこじつけのような気がする？

う～ん・・・やっぱりそうですか。(笑)

この説明で納得がいかなかった方には，こんな説明はいかがでしょう。

「１分間に深さ２センチずつ，プールから水を抜いている。今から５分前の水位は？」

（－２）センチ×（－５）分＝＋１０センチ

水を抜いていっているのですから，５分前は今よりも水位が高かったはずですよね。だから，答えが

プラスになります。

いろいろな解釈がある正の数・負の数の世界。

中学校１年生の教室では，今まさにこうした計算について，あの手この手で生徒たちに分かってもら

おうと奮闘中です。

「マイナスとマイナスをかけたらプラスなんだ。そう決まってるんだ。覚えろ！」

と片付けるのは簡単ですが，背景には実に面白い考え方が隠されています。

子どもたちと一緒に，ああでもない，こうでもないと頭をひねってみるのも楽しいのではないでしょ

うか。