マイナス×マイナスがプラスになる理由　～負の数の計算の意味～

１．正の数・負の数の計算は中学校最初の難関？

中学1年生の皆さんにとって，入学してからまもなく２ヶ月がたとうとしています。

私が中学校で教員をしていた頃の話ですが，入学して「算数」から呼び名が「数学」へと変わり，黒板にも時間割表にも何回も「数学」という文字を書いているにもかかわらず，いまだに子どもたちが私を見ては「あ，算数の先生だ！」と呼んでくる，そんな初々しい季節でもありました。

６年間慣れ親しんだ教科ですから，そう簡単に新しい呼び名に慣れるものではないのかもしれませんね。

さて，そんなピカピカの数学で，初めて子どもたちが学習するのが「正の数・負の数」という分野です。

プラスとかマイナスの数字のことです。

面白いことに，＋５とか－３という数はほとんどの子どもが教える前から知っていて，３－７＝？と質問すると，半分近くの子が「－４」と答えてきます。

マイナスの数自体は，天気予報やらゴルフのスコアやらで身近にあるので，小学校の頃から結構知識を持っているようです。

初めて触れる中学校の数学は，こうした予備知識のある状態で進んでいきますから，あまりつまづく子どももおらず，楽しみながら学習してくれているようです。

ところが，正の数・負の数の計算が始まると，徐々につまづく子どもたちが増え始めます。マイナスの数を「足す」，「引く」，「かける」，「割る」といった，四則演算の規則の理解に苦しんでいるようです。

例えば，

－３と－５を足すと，－８

－４から－７を引くと，＋３

－２に－５をかけると，＋１０

といった計算を習うわけですが，このメルマガをお読みの皆さんは，どうしてこれらの計算の答えがこうなるのか，理由をご存知でしょうか？

「う～ん・・・　どうしてだろう・・・」

というのを理解することが，中学校数学のまず初めの関門なのです。

２．どうしてマイナスかけるマイナスはプラスなの？

負の数の計算規則については，数直線を使ったり，カードゲームを使ったりなど，様々な工夫をしながら教えていくのですが，こんな解釈はいかがでしょうか。

＋は利益，－は損失だと考えてみましょう。

－３に－５を足すとどうなるか。

もともと「－３」という借金状態にある人に，さらに「－５」という負債を加えるわけですから，その人の損失は増えてしまいますね。だから結論は「－８」になります。

ちなみに，「借金を加える」ことと，「利益を奪い去る」ことは，その人の経済力に与える影響が同じですね。つまり，

「マイナスの数を足す」ことと，「プラスの数を引く」ことは同じことになります。

－４から－７を引くとどうなるか。

もともと「－４」という借金状態にある人から，「－７」という負債を取り除いてあげることになりますから，借金が消えるどころか，プラスに転じて，結果「＋３」という状態になります。

「借金を引き去る」ことと，「利益を加える」ことは同じことなのです。つまり，

「マイナスの数を引く」ことと，「プラスの数を足す」ことは同じことになります。

どうです？　かいつまんで説明をしたつもりですが，それでも結構ややこしいと思いませんか？　ここまでの説明を記号で表してみると，

　　＋（－５）＝－（＋５）・・・－５を足すことと，＋５を引くことは同じ

　　－（－７）＝＋（＋７）・・・－７を引くことと，＋７を足すことは同じ

ということになります。

さあ，最大の難関であるかけ算です。

「マイナスとマイナスをかけると，答えがプラスになる」というのは，多くの方がご存知だと思います。でも，その理由まで答えられる方は少ないのではないでしょうか。

そもそも，かけ算とはどのような計算でしょうか。

例えば２×５というのは，「２を５回足す」ということ，つまり「２＋２＋２＋２＋２」のことです。

　　　２×５＝２＋２＋２＋２＋２

では，（－２）×５はどうなるかというと，

　　　（－２）×５＝（－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）＋（－２）

「－２」を５回足すことになりますね。借金を５回重ねるわけですから，結果は「－１０」となります。

この場合は，かける数が「５」というプラスの数でした。本当は上の式をきちんと書くと，

　　　（－２）×（＋５）

ということになります。後ろの数がプラスだったからこそ，「＋５回足す」という言い方が出来たわけです。

ではいよいよ，後ろの数をマイナスにしてみましょう。

　　　（－２）×（－５）

そのままかけ算の意味に直すと，「－２を－５回足す」ということになります。

・・・－５回足す！？？？

何だそれ？？？　と固まってしまう方もいるでしょう。

しかし，思い出してください。

「－５を足すことと，＋５を引くことは同じ」

＋と－は，このように意味が逆となるような使い方ができるのです。この使い方によれば，

「－５回足すことと，＋５回引くことは同じ」

と考えられますので，－２を５回引くと，

　－（－２）－（－２）－（－２）－（－２）－（－２）

＝＋２　　　＋２　　　＋２　　　＋２　　　＋２

＝＋１０

ということになりました。

３．なんだか騙されたような気が…

・・・え！？　あんまりスッキリしなかった？

何だかこじつけのような気がする？

う～ん・・・やっぱりそうですか。(笑)

この説明で納得がいかなかった方には，こんな説明はいかがでしょう。

「１分間に深さ２センチずつ，プールから水を抜いている。今から５分前の水位は？」

（－２）センチ×（－５）分＝＋１０センチ

水を抜いていっているのですから，５分前は今よりも水位が高かったはずですよね。だから，答えがプラスになります。

いろいろな解釈がある正の数・負の数の世界。

中学校１年生の教室では，今まさにこうした計算について，あの手この手で生徒たちに分かってもらおうと奮闘中です。

「マイナスとマイナスをかけたらプラスなんだ。そう決まってるんだ。覚えろ！」

と片付けるのは簡単ですが，背景には実に面白い考え方が隠されています。

子どもたちと一緒に，ああでもない，こうでもないと頭をひねってみるのも楽しいのではないでしょうか。