マイナス×マイナスがプラスになる理由 ~負の数の計算の意味~

数学まるかじり

1.正の数・負の数の計算は中学校最初の難関?

 

中学1年生の皆さんにとって,入学してからまもなく2ヶ月がたとうとしています。

 

私が中学校で教員をしていた頃の話ですが,入学して「算数」から呼び名が「数学」へと変わり,黒

板にも時間割表にも何回も「数学」という文字を書いているにもかかわらず,いまだに子どもたちが

私を見ては「あ,算数の先生だ!」と呼んでくる,そんな初々しい季節でもありました。

 

6年間慣れ親しんだ教科ですから,そう簡単に新しい呼び名に慣れるものではないのかもしれません

ね。

 

さて,そんなピカピカの数学で,初めて子どもたちが学習するのが「正の数・負の数」という分野で

す。

 

プラスとかマイナスの数字のことです。

 

面白いことに,+5とか-3という数はほとんどの子どもが教える前から知っていて,3-7=?と

質問すると,半分近くの子が「-4」と答えてきます。

 

マイナスの数自体は,天気予報やらゴルフのスコアやらで身近にあるので,小学校の頃から結構知識

を持っているようです。

 

初めて触れる中学校の数学は,こうした予備知識のある状態で進んでいきますから,あまりつまづく

子どももおらず,楽しみながら学習してくれているようです。

 

 

 

ところが,正の数・負の数の計算が始まると,徐々につまづく子どもたちが増え始めます。マイナス

の数を「足す」,「引く」,「かける」,「割る」といった,四則演算の規則の理解に苦しんでいる

ようです。

 

例えば,

 

-3と-5を足すと,-8

 

-4から-7を引くと,+3

 

-2に-5をかけると,+10

 

といった計算を習うわけですが,このメルマガをお読みの皆さんは,どうしてこれらの計算の答えが

こうなるのか,理由をご存知でしょうか?

 

「う~ん・・・ どうしてだろう・・・」

 

というのを理解することが,中学校数学のまず初めの関門なのです。

 

 

 

2.どうしてマイナスかけるマイナスはプラスなの?

 

負の数の計算規則については,数直線を使ったり,カードゲームを使ったりなど,様々な工夫をしな

がら教えていくのですが,こんな解釈はいかがでしょうか。

 

+は利益,-は損失だと考えてみましょう。

 

-3に-5を足すとどうなるか。

 

もともと「-3」という借金状態にある人に,さらに「-5」という負債を加えるわけですから,そ

の人の損失は増えてしまいますね。だから結論は「-8」になります。

 

ちなみに,「借金を加える」ことと,「利益を奪い去る」ことは,その人の経済力に与える影響が同

じですね。つまり,

 

「マイナスの数を足す」ことと,「プラスの数を引く」ことは同じことになります。

 

-4から-7を引くとどうなるか。

 

もともと「-4」という借金状態にある人から,「-7」という負債を取り除いてあげることになり

ますから,借金が消えるどころか,プラスに転じて,結果「+3」という状態になります。

 

「借金を引き去る」ことと,「利益を加える」ことは同じことなのです。つまり,

 

「マイナスの数を引く」ことと,「プラスの数を足す」ことは同じことになります。

 

 

 

どうです? かいつまんで説明をしたつもりですが,それでも結構ややこしいと思いませんか? こ

こまでの説明を記号で表してみると,

 

  +(-5)=-(+5)・・・-5を足すことと,+5を引くことは同じ

 

  -(-7)=+(+7)・・・-7を引くことと,+7を足すことは同じ

 

ということになります。

 

さあ,最大の難関であるかけ算です。

 

「マイナスとマイナスをかけると,答えがプラスになる」というのは,多くの方がご存知だと思いま

す。でも,その理由まで答えられる方は少ないのではないでしょうか。

 

そもそも,かけ算とはどのような計算でしょうか。

 

例えば2×5というのは,「2を5回足す」ということ,つまり「2+2+2+2+2」のことで

す。

 

   2×5=2+2+2+2+2

 

では,(-2)×5はどうなるかというと,

 

   (-2)×5=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)

 

「-2」を5回足すことになりますね。借金を5回重ねるわけですから,結果は「-10」となりま

す。

 

この場合は,かける数が「5」というプラスの数でした。本当は上の式をきちんと書くと,

 

   (-2)×(+5)

 

ということになります。後ろの数がプラスだったからこそ,「+5回足す」という言い方が出来たわ

けです。

 

ではいよいよ,後ろの数をマイナスにしてみましょう。

 

   (-2)×(-5)

 

そのままかけ算の意味に直すと,「-2を-5回足す」ということになります。

 

・・・-5回足す!???

 

何だそれ??? と固まってしまう方もいるでしょう。

 

しかし,思い出してください。

 

「-5を足すことと,+5を引くことは同じ」

 

+と-は,このように意味が逆となるような使い方ができるのです。この使い方によれば,

 

「-5回足すことと,+5回引くことは同じ」

 

と考えられますので,-2を5回引くと,

 

 -(-2)-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)

 

=+2   +2   +2   +2   +2

 

=+10

 

ということになりました。

 

 

 

3.なんだか騙されたような気が…

 

・・・え!? あんまりスッキリしなかった?

 

何だかこじつけのような気がする?

 

う~ん・・・やっぱりそうですか。(笑)

 

この説明で納得がいかなかった方には,こんな説明はいかがでしょう。

 

「1分間に深さ2センチずつ,プールから水を抜いている。今から5分前の水位は?」

 

(-2)センチ×(-5)分=+10センチ

 

水を抜いていっているのですから,5分前は今よりも水位が高かったはずですよね。だから,答えが

プラスになります。

 

 

 

いろいろな解釈がある正の数・負の数の世界。

 

中学校1年生の教室では,今まさにこうした計算について,あの手この手で生徒たちに分かってもら

おうと奮闘中です。

 

「マイナスとマイナスをかけたらプラスなんだ。そう決まってるんだ。覚えろ!」

 

と片付けるのは簡単ですが,背景には実に面白い考え方が隠されています。

 

子どもたちと一緒に,ああでもない,こうでもないと頭をひねってみるのも楽しいのではないでしょ

うか。

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