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1.正の数・負の数の計算は中学校最初の難関?
中学1年生の皆さんにとって,入学してからまもなく2ヶ月がたとうとしています。
私が中学校で教員をしていた頃の話ですが,入学して「算数」から呼び名が「数学」へと変わり,黒
板にも時間割表にも何回も「数学」という文字を書いているにもかかわらず,いまだに子どもたちが
私を見ては「あ,算数の先生だ!」と呼んでくる,そんな初々しい季節でもありました。
6年間慣れ親しんだ教科ですから,そう簡単に新しい呼び名に慣れるものではないのかもしれません
ね。
さて,そんなピカピカの数学で,初めて子どもたちが学習するのが「正の数・負の数」という分野で
す。
プラスとかマイナスの数字のことです。
面白いことに,+5とか-3という数はほとんどの子どもが教える前から知っていて,3-7=?と
質問すると,半分近くの子が「-4」と答えてきます。
マイナスの数自体は,天気予報やらゴルフのスコアやらで身近にあるので,小学校の頃から結構知識
を持っているようです。
初めて触れる中学校の数学は,こうした予備知識のある状態で進んでいきますから,あまりつまづく
子どももおらず,楽しみながら学習してくれているようです。
ところが,正の数・負の数の計算が始まると,徐々につまづく子どもたちが増え始めます。マイナス
の数を「足す」,「引く」,「かける」,「割る」といった,四則演算の規則の理解に苦しんでいる
ようです。
例えば,
-3と-5を足すと,-8
-4から-7を引くと,+3
-2に-5をかけると,+10
といった計算を習うわけですが,このメルマガをお読みの皆さんは,どうしてこれらの計算の答えが
こうなるのか,理由をご存知でしょうか?
「う~ん・・・ どうしてだろう・・・」
というのを理解することが,中学校数学のまず初めの関門なのです。
2.どうしてマイナスかけるマイナスはプラスなの?
負の数の計算規則については,数直線を使ったり,カードゲームを使ったりなど,様々な工夫をしな
がら教えていくのですが,こんな解釈はいかがでしょうか。
+は利益,-は損失だと考えてみましょう。
-3に-5を足すとどうなるか。
もともと「-3」という借金状態にある人に,さらに「-5」という負債を加えるわけですから,そ
の人の損失は増えてしまいますね。だから結論は「-8」になります。
ちなみに,「借金を加える」ことと,「利益を奪い去る」ことは,その人の経済力に与える影響が同
じですね。つまり,
「マイナスの数を足す」ことと,「プラスの数を引く」ことは同じことになります。
-4から-7を引くとどうなるか。
もともと「-4」という借金状態にある人から,「-7」という負債を取り除いてあげることになり
ますから,借金が消えるどころか,プラスに転じて,結果「+3」という状態になります。
「借金を引き去る」ことと,「利益を加える」ことは同じことなのです。つまり,
「マイナスの数を引く」ことと,「プラスの数を足す」ことは同じことになります。
どうです? かいつまんで説明をしたつもりですが,それでも結構ややこしいと思いませんか? こ
こまでの説明を記号で表してみると,
+(-5)=-(+5)・・・-5を足すことと,+5を引くことは同じ
-(-7)=+(+7)・・・-7を引くことと,+7を足すことは同じ
ということになります。
さあ,最大の難関であるかけ算です。
「マイナスとマイナスをかけると,答えがプラスになる」というのは,多くの方がご存知だと思いま
す。でも,その理由まで答えられる方は少ないのではないでしょうか。
そもそも,かけ算とはどのような計算でしょうか。
例えば2×5というのは,「2を5回足す」ということ,つまり「2+2+2+2+2」のことで
す。
2×5=2+2+2+2+2
では,(-2)×5はどうなるかというと,
(-2)×5=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)
「-2」を5回足すことになりますね。借金を5回重ねるわけですから,結果は「-10」となりま
す。
この場合は,かける数が「5」というプラスの数でした。本当は上の式をきちんと書くと,
(-2)×(+5)
ということになります。後ろの数がプラスだったからこそ,「+5回足す」という言い方が出来たわ
けです。
ではいよいよ,後ろの数をマイナスにしてみましょう。
(-2)×(-5)
そのままかけ算の意味に直すと,「-2を-5回足す」ということになります。
・・・-5回足す!???
何だそれ??? と固まってしまう方もいるでしょう。
しかし,思い出してください。
「-5を足すことと,+5を引くことは同じ」
+と-は,このように意味が逆となるような使い方ができるのです。この使い方によれば,
「-5回足すことと,+5回引くことは同じ」
と考えられますので,-2を5回引くと,
-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)
=+2 +2 +2 +2 +2
=+10
ということになりました。
3.なんだか騙されたような気が…
・・・え!? あんまりスッキリしなかった?
何だかこじつけのような気がする?
う~ん・・・やっぱりそうですか。(笑)
この説明で納得がいかなかった方には,こんな説明はいかがでしょう。
「1分間に深さ2センチずつ,プールから水を抜いている。今から5分前の水位は?」
(-2)センチ×(-5)分=+10センチ
水を抜いていっているのですから,5分前は今よりも水位が高かったはずですよね。だから,答えが
プラスになります。
いろいろな解釈がある正の数・負の数の世界。
中学校1年生の教室では,今まさにこうした計算について,あの手この手で生徒たちに分かってもら
おうと奮闘中です。
「マイナスとマイナスをかけたらプラスなんだ。そう決まってるんだ。覚えろ!」
と片付けるのは簡単ですが,背景には実に面白い考え方が隠されています。
子どもたちと一緒に,ああでもない,こうでもないと頭をひねってみるのも楽しいのではないでしょ
うか。
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