三角形の五心　～重心・内心・外心・垂心・傍心

 

円があったとして，この中心はどこですかと言われたら，誰でも同じようなところを指差すことができるはずです。

 

円とその中心とは，お互いに強いつながりを持った関係にあります。

 

 

正六角形の中心はどこですか？と聞かれたときも，割と簡単に答えることができるのではないでしょうか。

 

3本の長い対角線で正六角形を6枚の正三角形に分けたとき，中央にできる交点が正六角形の中心だと言えるでしょう。

 

 

では特になんの特徴もない，普通の三角形があったとします。正三角形とか，直角三角形とかいう，きれいな三角形でなくても構いません。

 

 

この三角形の「中心」はどこですか？

 

と尋ねられたら，どのように答えればよいのでしょうか。

 

 

 

 

 

最近は少なくなってきたそうですが，実はこの問題，一昔前までは小・中学校の算数・数学の授業でよく扱われてきたテーマです。

 

 

中心とは，「まんなか」，「物事の集中する場所」，「重要な意味をもつ場所」といった意味で用いられる言葉ですから，

 

 

「三角形の中心」

 

 

とは，「三角形において，重要な意味をもつ点」と考えてよさそうに思います。

 

問題は，何をもって重要だと考えるかになります。

 

 

小学生に三角形の板を渡して考えさせると，多くの子どもたちが1本の指で三角形を下から支えて，バランスをとろうとするんだそうです。

 

 

この場合はヤジロベーのように，ぴたりと支えることができる点を「重要な点」だと考えることになります。

 

 

これは三角形の重さが集まる点ということで「重心」と呼ばれます。

 

先ほどの円や正六角形の中心も，この「重心」となっていますので，円や正六角形を指1本で支えることができます。

 

 

「重心」は，三角形の「中心」と呼ぶにふさわしい点の一つだといえます。

 

重心は，いちいち指で支えて確かめなくても，紙の上で作図することができます。

 

三角形の3つの頂点から，その向かい側にある辺の中点に向かってそれぞれ線を引くと，見事に1点で交わります。ここが重心となることが知られています。

 

記事「三角形の重心，四角形の重心・・・」参照

 

 

 

 

ところで，重心とは重さに着目したときの中心ですが，着目の仕方は他にもあります。

 

 

「中心というからには，円が関係していてほしい」

 

という考え方もできます。

 

正六角形の中心にコンパスをあてて円をかくと，正六角形の頂点は全て円周の上に乗り，正六角形は見事に円に内接します。

 

このように，図形を包み込む円のことを「外接円」といいますが，この外接円の中心を，その図形の中心だと考えるとどうでしょう。

 

 

でたらめに書いた三角形の場合，重心は外接円の中心にはなりません。

 

重心にコンパスをあてて円をかいても，三角形の頂点の全てが円周の上には乗らないのです。

 

外接円の中心となる点を「外心」と呼びます。

 

三角形の外心は，重心とはまた別の位置にあります。詳しい説明は省きますが，3つの辺の垂直二等分線が交わったところにあります。

 

 

外接円とはその図形を包む大きな円のことでしたが，その逆に，図形の内側にぴたりと接する小さな円もあります。

 

これは「内接円」と呼ばれます。

 

内接円の中心を「内心」といいます。この内心は，重心，外心とはまた異なる点です。3つの角の二等分線が交わるところにあります。

 

 

 

何だか中心になりそうなものが3つも出てきてややこしくなったな，とお思いでしょうね。

 

視点を変えると，何が重要かも変わってきますので，それに伴っていくつも中心が出てくるわけですが，誠に恐縮です。あと2つあるのです。

 

 

1つは「垂心」。

 

これは，各頂点から向かい合う辺に向かって垂線を引き，それらが交わった点です。

 

もう一つは「傍心」。

 

三角形の3つの辺を直線だと考えて延長したとき，3本の直線の全てに接する円が4個ありますが(三角形の中に1つ，外に3つ)，この外側にできる円の中心になります。

 

 

重心，外心，内心，垂心，傍心。

 

この5つの「中心」を，三角形の五心と呼んでいます。

 

 

 

 

中心の「心」は，「芯」とかかれる場合もあるようです。

 

 

この場合は「ものの中，中央」という意味で，やや物理的な意味が強くなるようですが，私は「心」の方が好きです。

 

三角形には「心」がある。しかも5つも。

 

 

なんだか，無味乾燥な幾何学図形にとても暖かみを感じませんか？